高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质问题导学案新人教a版选修2

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1、1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质问题导学一、与杨辉三角有关的问题活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　　)A．144B．146C．164D．461迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察

2、方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．二、二项式系数的性质活动与探究2(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．迁移与应用1．10的展开式中，系数最大的项为(　　)A．第六项B．第三项C．第三项和第六项D．第五项和第七项2．若n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)A．462B．252C．210D．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系

3、数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．三、二项式系数、展开式系数的求和活动与探究31．设的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，则二项展开式含x2项的系数为__________．2．设函数f(x，y)＝x(m＞0，y＞0)．若f(4，y)＝a0＋＋＋＋，且a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81，则a0＋a2＋a4＝__________．迁移与应用1．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)A．1B．－1C．0D．22

4、．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h，奇数次项的系数和为t，则h2－t2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)1　相等　(2)和　C＋C2．(1)

5、首末两端等距离　(2)增大　减小　　，3．(1)2n　(2)2n－1预习交流　(1)提示：C(2)提示：D课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．C　解析：由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C．∴S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164．迁移与应用

6、　解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2　思路分析：求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组确定k的值．解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26n＝8．∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T

7、5＝C·(2x)4＝1120x4．设第k＋1项系数最大，则有5≤k≤6．∴k＝5或k＝6(∵k{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6．迁移与应用　1．D　解析：由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx5·5＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝C·x6·4＝Cx2，T7＝Cx4·6＝C·x－2，且C＝C，∴系数最大的项为第五项和第七项．2．C　解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项