松滋高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质【学习目标】1.能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形对二项式进行展开.2.会利用“杨辉三角”与二项式系数分析和解决一些简单的实际问题.3.培养观察、比较和变形能力，形成应用意识.4.通过实际问题的解决，进一步培养学习数学的兴趣.【重点难点】重点：二项式系数的性质及应用.难点：借助杨辉三角讨论二项式的性质.【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P32内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组

2、合作探究，答疑解惑.【问题导学】1.二项式定理及其特例：.2．二项展开式的通项公式：3二项式系数表（杨辉三角）——见P32展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例如：当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中

3、间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则4———这种方法叫赋值法﹗【合作探究】问题1：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和是否相等?问题2：设，当时，求的值解：令得：，∴，问题3：已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，∴，．（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，，（2）设展开式中第项系数最大，则，∴∴，即展开式中

4、第项系数最大，．【深化提高】设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．4(3)求

5、a0

6、＋

7、a1

8、＋

9、a2

10、＋…＋

11、a2010

12、的值．　(1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋

13、…＋a2009＝.(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴

14、a0

15、＋

16、a1

17、＋

18、a2

19、＋

20、a3

21、＋…＋

22、a2010

23、＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差●当堂检测A组（你一定行）：1.展开式中的系数为45，各项系数之和为0．2.在的展开式中，奇数项之

24、和为，偶数项之和为，则等于（D）A.0B.C.D.B组（你坚信你能行）：3求的展开式中系数最大的项.答案：4.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．　2n-1　324　用不完全归纳法，猜想得出．C组（我对你很有吸引力哟）：5.求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．　方法一：(1＋x－2x2)5＝5，则Tr＋1＝C·

25、(x－2x2)r，而(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Cxr－k·(－2x2)k＝(－2)k·C·xx＋k.∴Tr＋1＝C(－2)k·Cxr＋k令r＋k＝4，则k＝4－r.∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，∴或或.∴展开式中含x4的项为·x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5·(1＋2x)5，则展开式中含x4的项为C·C·(2x)4＋C·(－x)·C·(2x)3＋C·(－x)2·C(2x)2＋C·(－x)3·C·(2x)＋C·(－x)4·C·(2x)0＝－15x

26、4.【学习小结与反思】4