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《高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学三点剖析一、有关系数和的问题【例1】设（2x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-（a1+a3+…+a99）2.解：（1）由（2x）100展开式中的常数项为·2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=（2）100,①∴a1+a2+…+a100=（2）100-2100.（3）令x=-1,可得a0-
2、a1+a2-a3+…+a100=（2+）100.②与x=1所得到的①联立相减可得，a1+a3+…+a99=.（4）原式=［（a0+a2+…+a100）+（a1+a3+…+a99）］［（a0+a2+…+a100）-（a1+a3+…+a99）］=（a0+a1+a2+…+a100）（a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100）=（2-）100（2+）100=1.温馨提示本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a
3、5+…=.二、系数最大项问题【例2】已知在（-）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.（1）求n;（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解析：（1）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n是偶数，第6项即为中间项，∴+1=6,得n=10.（2）展开式的通项是Tr+1=（-1）r·2-r·,系数的绝对值是·2-r,若它最大则，≤r≤.∵r∈N*,∴r=3,∴系数绝对值最大的项是第4项，即·2-3·=.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为=1，·2-2=.·2-4=,·2-6=,·2-n=,∴系数最大的项是
4、第5项，即.温馨提示注意“系数”与“二项式系数”在概念上的区别，否则会得出“系数最大的项为T4，而系数最小的项为T1和T7”的错误结论.一系列数的大小比较问题，其数学模型就是数列中各项的大小比较问题，而数列{an}的各项大小排队方法无外乎单调性法、作差法、作商法等.本题用了作商与1比较的方法.三、二项式定理性质的综合应用【例3】试证明下列组合恒等式：（1）+++…+=;（2）若an为等差数列，d为公差，求证：a1+a2+…+an+1=（2a1+nd）2n-1.思路分析：（1）将写成后，连续使用组合数性质：+=可得结果.（2）本质上是一个求和问题，用“逆序求和”思想可得结
5、果.解：（1）++…+=+++…+=++…+=…=.（2）令S=a1+a2+…+an+1.则S=an+1+an+…+a1.∵=,∴将以上两式相加，得2S=（a1+an+1）+（a2+an）+…+（an+1+a1）.又∵{an}是等差数列，∴a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=an+1+a1.∴2S=（a1+an+1）（++…+）,∴2S=（2a1+nd）·2n,∴S=（2a1+nd）·2n-1.温馨提示（1）不要误写为;（2）不要误写为（2a1+nd）·2n,像改写成后出现的连锁反应一样.各个击破类题演练1设（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x
6、5,求：（1）a0+a1+a2+a3+a4;（2）
7、a0
8、+
9、a1
10、+
11、a2
12、+
13、a3
14、+
15、a4
16、+
17、a5
18、;（3）a1+a3+a5;（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2.解析：设f（x）=（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则f（1）=a0+a1+a2+…+a5=1,f（-1）=a0-a1+a2-a3+a4-a5=（-3）5=-243.（1）∵a5=25=32,∴a0+a1+a2+a3+a4=f（1）-32=-31.（2）
19、a0
20、+
21、a1
22、+
23、a2
24、+…+
25、a5
26、=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f（-1）=243.（3）∵f
27、（1）-f（-1）=2（a1+a3+a5）,∴a1+a3+a5==122.（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2=（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0-a1+a2-a3+a4-a5）=f（1）×f（-1）=-243.变式提升1求（1+2x+x2）10（1-x）5展开式中各项系数的和.解：（1+2x+x2）10（1-x）5=（1+x）20·（1-x）5=（+x+x2+…+x20）［+（-x）1+…+（-x）5］=A0+A1x+A2x2+A3x3+…+A25x25,对于x取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1,
