2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3

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1、1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点　“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案　2,4,8,16,

2、32,64，…，其系数和为2n.思考3　二项式系数的最大值有何规律？答案　当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．梳理　(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.(2)二项式系数的性质性质内容对称性C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大如果n为奇数，那么其展开式中间两项与

3、的二项式系数相等且同时取得最大值各二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－11．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　×　)2．二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　×　)3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　×　)类型一　与杨辉三角有关的问题例1　(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类

4、似性质的行是(　　)A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　　)A．144B．146C．164D．461考点　二项式系数的性质题点　与杨辉三角有关的问题答案　(1)B　(2)C解析　(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首

5、项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C，所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点　二项式系数的性质题点　与杨辉三角有关的问题答案　34解析　由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，

6、它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二　二项式系数和问题例2　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)

7、a0

8、＋

9、a1

10、＋

11、a2

12、＋…＋

13、a5

14、；(3)a1＋a3＋a5.考点　展开式中系数的和问题题点　二项展开式中系数的和问题解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得

15、－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，所

16、a0

17、＋

18、a1

19、＋

20、a2

21、＋…＋

22、a5

23、＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.所以a1＋a3＋a5＝＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3

24、＋a4.解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝＝122.(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4