资源描述：
《ch9-2第二讲数量积向量积混合积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§7.2数量积 向量积第二讲Ⅰ 授课题目 §7.2 数量积 向量积Ⅱ 教学目的与要求 1、掌握向量的数量积的定义及数量积的性质； 2、掌握向量的向量积的定义及向量积的性质； 3、掌握向量的数量积与向量积的计算方法。Ⅲ 教学重点与难点1、重点：数量积与向量积的定义及性质。2、难点：数量积与向量积的计算方法。Ⅳ 讲授内容 一、两向量的数量积数量积的物理背景:设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.由物理学知道,力F所作的功为W=
2、F
3、
4、s
5、cosq,θba其中q为F与s的夹角.数量积:对于两个向量a和b,它们的模
6、a
7、、
8、b
9、及它们的夹角q的余弦的乘积称为向量a和b
10、的数量积,记作a×b,即a·b=
11、a
12、
13、b
14、cosq.数量积与投影:由于
15、b
16、cosq=
17、b
18、cos(a,^b),当a¹0时,
19、b
20、cos(a,^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是a·b=
21、a
22、Prjab.同理,当b¹0时,a·b=
23、b
24、Prjba.这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。数量积的性质:(1)a·a=
25、a
26、2.这是因为夹角θ=0，所以a·a=
27、a
28、
29、a
30、cosq=
31、a
32、2.(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b=0,则a^b；反之,如果a^b,则a·b=0.这是因为如果a·b=0，由于
33、a
34、与
35、b
36、均不为零，所以c
37、osq=0，从而q=，即a^b；反之如果a^b,那么，cosq=0，于是a·b=
38、a
39、
40、b
41、cosq=0。由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直,因此，上述结论可叙述为：向量a^bÛa·b=0.数量积的运算律:5§7.2数量积 向量积(1)交换律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c.(3)(la)·b=a·(lb)=l(a·b),(la)·(mb)=lm(a·b),l、m为数.(2)的证明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的证明:因为当c=0时,上式显然成立;当c¹0时,有(a+b)×c=
42、c
43、Prjc(a+b)=
44、c
45、(Prjc
46、a+Prjcb)=
47、c
48、Prjca+
49、c
50、PrjcbAcbaCB=a×c+b×c.例1试用向量证明三角形的余弦定理.证:设在ΔABC中,∠BCA=q,
51、BC
52、=a,
53、CA
54、=b,
55、AB
56、=c,要证c2=a2+b2-2abcosq.记=a,=b,=c,则有c=a-b,从而
57、c
58、2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=
59、a
60、2+
61、b
62、2-2
63、a
64、
65、b
66、cos(a,^b),即c2=a2+b2-2abcosq.数量积的坐标表示:设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a·b=axbx+ayby+azbz.提示:按数量积的运算规律可得a·b=(axi+ayj+a
67、zk)·(bxi+byj+bzk)=axbxi·i+axbyi·j+axbzi·k+aybxj·i+aybyj·j+aybzj·k+azbxk·i+azbyk·j+azbzk·k=axbx+ayby+azbz.两向量夹角的余弦的坐标表示:设q=(a,^b),则当a¹0、b¹0时,有.提示:a·b=
68、a
69、
70、b
71、cosq.5§7.2数量积 向量积例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求ÐAMB.解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则ÐAMB就是向量a与b的夹角.a={1,1,0},b={1,0,1}.因为a×b=1´1+1´0+0´1=1,,.所以.从而
72、.二、两向量的向量积在研究物体转动问题时,不但要考虑这物体所受的力,还要分析这些力所产生的力矩.设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与的夹角为q.由力学规定,力F对支点O的力矩是一向量M,它的模,而M的方向垂直于与F所决定的平面,M的指向是的按右手规则从以不超过p的角转向F来确定的.向量积:设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模
73、c
74、=
75、a
76、
77、b
78、sinq,其中q为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作a´b,即c=a´b.根据向量积的定义,力矩M等于与F的向量积,即.
79、向量积的性质:(1)a´a=0;(2)对于两个非零向量a、b,如果a´b=0,则a//b;反之,如果a//b,则a´b=0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bÛa´b=0.数量积的运算律:5§7.2数量积 向量积(1)交换律a´b=-b´a;(2)分配律:(a+b)´c=a´c+b´c.(3)(la)´b=a´(lb)=l(a´b)(l为数).数量积的坐标表示:设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk.按向量
