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1、一.数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例8-1求定积分。 (1)建立被积函数文件fesin.m。 fun
2、ctionf=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2)调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S=0.9008 n=77 2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数
3、明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 (1)被积函数文件fx.m。 functionf=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2)调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I=2.4674 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： formatlong; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1
4、,2.5,1e-10) I=0.28579444254766 n=65 调用函数quad8求定积分： formatlong; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I=0.28579444254754 n=33 3．被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 用trapz函数计算定积分。 命令如下： x=1:0.01:2.5;
5、 Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans=0.28579682416393 8.1.3二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 计算二重定积分 (1)建立一个函数文件fxy.m： functionf=fxy(x,y
6、) globalki; ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2)调用dblquad函数求解。 globalki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I=1.57449318974494 ki=1038 二.数值微分 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+
7、1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V)%计算V的一阶差分 例8-7用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。
8、 程序如下： f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2'); g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5'); x=-3:
