《反常积分》word版

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1、195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）§4-5反常积分(奇异积分和无穷积分)柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.1.奇异积分按照正常积分，函数在区间上不可积，因为它在区间上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数，函数在区间上

2、是可积的，而且有极限我们将把这个极限值称为函数在区间上的奇异积分，并记成它在几何上表示由曲线、竖直线和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为单位平方).图4-31Obxy图4-30Oε1xy一般地，设函数在(左开右闭)区间上连续，而在点近旁无界[这样的点就称为函数的奇点](图4-31).我们形式上就定义奇异积分为所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，仅是一个记号.例20，其中当时，195195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）当时，当时，综上所述：

3、当时，奇异积分收敛；当时，奇异积分发散.【注】当时，是正常积分.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数在区间上连续(是奇点)，是它的一个原函数，则有其中.而且，当有极限时，奇异积分收敛；当没有极限时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成(*)在扩充实数系中，规定.事实上，奇异积分与正常积分是相通的，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如，195195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）(奇异积分)(正常积分)yxOa图4-32b同样，若函数在(左闭右开)区

4、间上连续且点是奇点(图4-32)，则也可形式上定义奇异积分而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20那样，可以证明奇异积分当时收敛，而当时发散.积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如,或,(偶函数的积分)或.(换元积分法)函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点是函数的奇点，而且函数在区间和上连续，则可形式上定义奇异积分请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的.因为奇异积分实际

5、上是函数的极限，所以有下面的结论：⑴若奇异积分和都收敛，则也收敛，且有(线性运算性质)⑵若奇异积分和中有一个收敛，另一个发散，则必发散.195195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）但是请读者注意，若奇异积分和都发散时，则有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，使(4-22)则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使(4-23)则奇异积分发散.证当

6、满足条件(4-22)时，则有于是，对于任意正数，根据积分单调性，有其中右端是与无关的正常数，即作为的函数有上界；又当时，函数是增大的，所以有极限(单调有界原理)因此，也有极限即奇异积分收敛.其次，当条件(4-23)满足时，函数不变号[因为是连续函数]，不妨认为195195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）.根据例20，则有即奇异积分发散.我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法：设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，使则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使则奇异积

7、分发散.例21研究奇异积分的敛散性.解点和点都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即（0是奇点）（1是奇点）在右端第一个积分中，因为根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为（注意上限是奇点）根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分收敛.2.无穷积分在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即，或，或它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线与轴和直线围成的无界图形的面积，规定为

8、极限195195§4-5反常积分（奇异积分和无穷积分）(单位平方)是合理的.图4-33b1OyxO·q·aa+r·x图4-34再如放置在原点处带有正电量的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-3