《反常二重积分》word版

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1、反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义1设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域，如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一设D是平面R2中无界区域，在D上的可积函数的充分必

2、要条件是在D上的可积.定理2(比较判别法)设D是平面R2中无界区域，,是D上的函数,在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且.那么(1)当收敛时,收敛;(2)当发散时,发散.推论设D是平面R2中无界区域，是D上的函数,并且在D的任意有界可求面积的子集上可积,那么(1)当足够大时,(c是常数),如果α>2,则反常二重积分收敛;(2)当足够大时,(c是常数),如果α≤2,则反常二重积分发散.例1设=，计算解方法一方法二例2计算二重积分，其中D是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D是无界区域，且从下列图形可以看出，D是型区域，化成累次积分时应先对积分

3、．解法一：=图8.26解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D是平面R2中有界可求面积区域，P是的聚点,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),.设Δ为含有P的任何小区域,在D-Δ上可积.设.如果存在,则称在D上可积,这个极限也称为在D上的反常二重积分.还是记作:,即=.当在D上可积时,称收敛.如果不存在,我们还用这个记号,也称为在D上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样,可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理3设D是平面R2中有界区域，P(x0,y0)

4、是D的聚点,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界,.设Δ为含有P的任何小区域,在D-Δ上可积,那么(1)当足够小时,(c是常数),如果α<2,则反常二重积分收敛;(2)当足够小时,(c是常数),如果α≥2,则反常二重积分发散.例3求.解显然函数是区域上.(0,0)可能为奇点,取Δ:,那么当,,当,发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4计算．解，令，则计算1);2);3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？