资源描述：
《《反常二重积分》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、*§8反常二重积分与反常定积分相同,二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形,统称为反常二重积分.一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分返回一、无界区域上的二重积分定义1设为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线在曲线所围的有界区域与D的交集(图21-42)上二重可积.令若存在有限极限:且与的取法无关,则称在D上的反常二重积分收敛,并记否则称在D上的反常二重积分发散,或简发散.称定理21.16设在无界区域D上为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足其中为所围的有界区域.这时反常二重积分(1)必定收敛,
2、并且证设为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成的区域记为并记.因为因此存在n,使得由于所以有另一方面，因为故对任给的总有使得再由由定理21.16的证明容易看到有以下定理:因而对于充分大的有可知反常二重积分存在,且等于I.定理21.17若在无界区域D上则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子区域上可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分收敛,其中D为第一象限部分,即部分.因为所以二重积分证设是以原点为圆心R为半径的圆在第一象限的值随着R的增大而增大.又因所以显然对D的任何有界子区域总存在足够大的R,使得于是因此由定理21.17,反常二重积分收
3、敛，并且由定理21.16有由(2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分为此,考察上的积分因为而(图21-43),所以令,则得故得下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2证明:若则证对于函数,令则,于是从而关函数与函数的联系公式.令由二重积分化为累次积分的计算公式,有所以式右边的反常二重积分,记于是有这里为平面上第一象限.和例1一样,下面讨论(4)对上式积分应用极坐标变换，则得再由第十九章§3的(10)式就得到定理21.18设在无界区域的任何有界子区证(只证充分性)设收敛于M.作辅域上可积.则反常二重积分收敛的充要条件是:反常二重积分收敛.助函数:
4、显然有因而任给有界区域恒有所以与在D上的反常二重积分都收敛.又因所以在D上的反常二重积分也收敛.关于必要性的证明,有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注对于反常定积分,绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.而在反常二重积分中,绝对收敛的反常积分一定收敛,反之亦然.出现这种区别的原因,是因为直线上的点是有序的,而在平面上的点是无序的.定理21.19(柯西判别法)设在无界区域D的任何有界子区域上可积,D中的点到原点的距离为(i)若当r足够大时,则当时,反常二重积分收敛；(ii)若在D上满足其中D包含有以原点为顶点的无限扇形区域,则当时
5、，反常二重积分发散.*证记则(i)因为对任意所以收敛.(ii)设其中对任意因此发散.二．无界函数的二重积分定义2设P为有界区域D的一个聚点，在D界,为D中任何含有P的小区域，在上可积,又设d表示的直径.若极限上除点外皆有定义,且在的任何空心邻域内无存在且有限,并与的取法无关,则称在D上的反常二重积分收敛,记作否则称反常积分发散.与无界区域上的反常重积分一样，对无界函数的反常重积分也可建立相应的收敛性定理.其证明方法也与定理21.19类同,请读者自证.定理21.20(柯西判别法)设在有界区域D上除点外处处有定义,点是它的瑕点,则下面两个结论成立:(i)若在点
6、P的附近有其中c为常数，,则当时,反常二重积分收敛;且D含有以点P为顶点的角形区域,则当时,反常二重积分发散.总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同(ii)若在点P的附近有之处.复习思考题
