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1、第九章反常积分前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数在区间上的定积分从不同方面予以推广.例如，将区间推广到无限区间，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间的有界函数推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.第一节无穷积分的性质与敛散性的判别一、无穷积分的概念引例求曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积.解:在区间中任取一点,那么由轴、曲线及直线与所围图形的面积是可以用定
2、积分计算的，即很自然，把极限1b当作所求曲边梯形的面积，写作由此可得一般的无穷积分的概念.定义9-1设函数在区间连续,任取,则称极限为函数在区间上的反常积分(无穷积分).记作,即=若此极限存在,称无穷积分收敛.若此极限不存在,则称无穷积分发散.发散时仍用记号表示,但它不表示任何数.类似可定义函数在上的无穷积分为定义函数在上的无穷积分为其中为任意常数.当且仅当上式右端的两个无穷积分都收敛时,称无穷积分收敛,否则称无穷积分发散.根据积分区间可加性，不难证明，上式的右端与数无关.为了方便常取=0.设是的一个原函数,并记,则无穷积
3、分可表示为===即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是与是一种极限运算,当极限存在时,与表示极限值,当极限不存在时与只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限与是否存在.显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.例1计算下列无穷积分（1）（2）（3）（4）解:（1）===（2）===1（3）===+=（4）====1例2判别无穷积分的敛散性（>0）解:当时，有=当时，有于是，当时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是；当时，无穷积分发散.例3判别无穷积分的敛散性解：当时，有=当时，有=于是，
4、当时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是；当时，无穷积分发散.在上述三例中,无论是求无穷积分的值还是判别无穷积分的敛散性,都是首先求出被积函数的原函数,然后再取极限.显然用这种方法只有被积函数存在初等函数的原函数才是可行的.如果被积函数的原函数不易求出或不是初等函数,上述方法不能使用.因此,要进一步讨论判别无穷积分敛散性和求无穷积分值的方法.二、无穷积分的性质下面讨论的无穷积分总是假设函数在区间有定义，且对于任意函数在上可积.由无穷积分的定义,无穷积分收敛当时,函数存在极限.于是,无穷积分也有柯西收敛准则:定理9-1(柯西收
5、敛准则)无穷积分收敛的充分必要条件是:对于任给正数,存在,当，时，有.推论1若无穷积分收敛，则证明：根据定理1，与，有.令,即或.推论2若无穷积分收敛,则无穷积分也收敛.证明:根据定理1，与，有从而,有即无穷积分收敛.推论3无穷积分收敛,无穷积分也收敛.读者自证.定理9-2若无穷积分收敛,则无穷积分也收敛,其中是常数,且=定理9-3若无穷积分与都收敛，则无穷积分也收敛，且=定理9-4若函数与在区间上存在连续导数，极限存在，且无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，有=—或.这是无穷积分的分部积分公式.定理9-5若函数在区间上连续，
6、无穷积分收敛，且函数在严格增加（或减少），存在连续导数，而，则.这是无穷积分的换元公式.例4求无穷积分解：根据定理4，有===1==.有2K=1或，即例5求无穷积分解：设则.根据定理5,有=三、无穷积分敛散性的判别法1、非负函数无穷积分收敛的判别法定理9-6（非负函数无穷积分判别法）无穷积分，收敛的充分必要条件是：存在正数M，对一切，有证明：由于，所以函数是单调递增函数，故收敛的充要条件是函数在上有界，即定理9-7（比较判别法）设定义在上的正值函数与在任何区间上都可积，若存在正数c(c>a)及k,当x>c时，有，k>0，当
7、收敛时，也收敛；当发散时，也发散.证明：若收敛，则也收敛.又因,根据定理6,存在M>0,对一切u>c,有,由条件当x>c时,,所以当u>c时,有所以,无穷积分收敛,从而也收敛.是的逆否命题,所以成立.例6判别的收敛性解：显然，，由于收敛，因此，收敛.例7设,是上的非负连续函数,证明:若和收敛,则收敛.证明：由于,而=收敛,因此,收敛.推论4若，且，则当时，与同时收敛或同时发散.当L=0,且收敛时,则也收敛;当L=,且发散时,则也发散.证明：由假设>0，对，总存在c>a,当时，有或，即又因为>0，故当时，有.若收敛,由式,当
8、时,有.根据比较判别法,无穷积分也收敛.若发散,由式,当时，有,根据比较判别法,无穷积分也发散.由,存在c>a,当时，有,即,.根据比较判别法,若收敛时,也收敛.,必存在c>a,当时，有或.根据比较判别法,若发散时,也发散.推论5设，且，则当，p>1时，收敛；当，p≤1时,发散.证明：令或，由例2，当p
