《反常积分练习》word版

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1、第8章反常积分§1反常积分的概念与计算问题的提出:针对Riemann积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1]P264两例.广义积分亦称为Cauchy—Riemann积分,或C—R积分.一.无穷限广义积分:1．概念和几何意义：定义，.几何意义:例1⑴讨论积分,,的敛散性.⑵计算积分.例2讨论以下积分的敛散性:⑴;⑵.例3讨论积分的敛散性.2.无穷积分的性质:⑴在区间上可积,为常数,则函数在区间上可积,且.⑵和在区间上可积在区间上可积,且.5§2反常积分的收敛判别法无穷积分收敛的Cauchy准则:(翻译)Th积分收敛.⑷绝对收敛与条件

2、收敛:定义概念.绝对收敛收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分.3.无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有↗.非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法:设在区间上函数和非负且，又对任何>,和在区间上可积.则<<；.(证)例4判断积分的敛散性.比较原则的极限形式:设在区间上函数,.则ⅰ><<与共敛散;ⅱ><时,<；ⅲ>,时,.(证)⑵Cauchy判敛法:(以为比较对象,即取.以下>0)5设对任何>,,且,<；若且,.Cauchy判敛法的极限形式:设是在任何有限区间上可积的正值函数.且.则ⅰ><；ⅱ>.(证)例5讨论以下无穷

3、积分的敛散性:ⅰ>ⅱ>[1]P324E6⑶其他判敛法:Abel判敛法:若在区间上可积,单调有界,则积分收敛.Dirichlet判敛法:设在区间上有界，在上单调,且当时，.则积分收敛.例6讨论无穷积分与的敛散性.例7例7证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛:,,.5例8(乘积不可积的例)设,.由例6的结果,积分收敛.但积分却发散.(参阅例6)二.反常积分:先介绍函数的瑕点.1.瑕积分的定义:以点为瑕点给出定义.然后就点为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9判断积分的敛散性.例10讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性.2.瑕积分与无穷积分

4、的关系:设函数连续,为瑕点.有,把瑕积分化成了无穷积分;设,有，把无穷积分化成了瑕积分.可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果.例11证明瑕积分当时收敛.证,由例6,该积分当时收敛.1.瑕积分判敛法:Th(比较原则)见教材Th10-23.5推论1(Cauchy判别法)推论2(Cauchy判别法的极限形式)例12判别下列瑕积分的敛散性:⑴(注意被积函数非正).⑵.例13讨论非正常积分的敛散性.三.C—R积分与R积分的差异:1.R在上;但在区间上可积,在区间上有界.例如函数2.R,

5、

6、R,但反之不确.R积分是绝对型积分.

7、

8、在区

9、间上可积在区间上可积,但反之不确.C—R积分是非绝对型积分.3.,RR;但和在区间上可积在区间上可积.可见,在区间上可积在区间上可积.5