微积分（定积分应用，反常积分）彩版

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1、旋转体的体积1.由连续曲线yf(x),yyf(x)直线xa,xb及x轴围成的曲边梯形绕x轴oaaxbbx旋转一周围成的旋转体体积.b2Vx[f(x)]dxya2.连续曲线段x(y()cyd)d绕y轴旋转一周围成的立体体积为yx(y)d2cV[(y)]dyycox套筒法y求由连续曲线yf(x),yf(x)直线xa,xb及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周围成的旋转体体积.oaxxdxbx[x,xdx](axb)VdV2xdS2xf(x)dxbb2Vya2xf(x)dxVx[f(x)]dxa3.设由摆线xa(

2、tsint,)ya1(cost)(a)0的一拱与x轴所围平面图形.求面积S,Vx,Vy.(P275.5(4))解:dSydxya1(cost)a1(costd)t2Sa21(cost)2dtox2ax0t2u4a2sin4tdt2248asinudu02016a22sin4udu16a23123a04223.设由摆线xa(tsint,)ya1(cost)(a)0的一拱与x轴所围平面图形.求面积S,Vx,Vy.(P275.5(4))2y解:dVxydx22a1(cost)a1(costd)tox2

3、ax323Va1(cost)dtx0tu3326t224a3sin6udu2asindt020532652a32asinudu03.设由摆线xa(tsint,)ya1(cost)(a)0的一拱与x轴所围平面图形.求面积S,Vx,Vy.(P275.5(4))解:dVy2xydxy322V2a(tsint1()cost)dty0ox2ax336ay绕y2a旋转体积V32a2V2(a)2a322oxa2ax2(ay)dx0233228aa1(cost)1(costd)t72a3

4、0§4.3平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB的弧长,yMMi1inslimMMi1i0i1BMn并称此曲线弧为可求长的.AM0ox定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)曲线的弧长(1)曲线弧由直角坐标方程给出:yf(x)yf(x)(axb)yds弧长元素(弧微分):22ds(dx)(dy)21ydxoaxxdxbx因此所求弧长bb22s1ydx1f(xd)xaa曲线的弧长(2)曲线弧由参数方程给出:x(t)()

5、ty(t)弧长元素(弧微分):2222ds(dx)(dy)(t)(td)t因此所求弧长s2(t)2(t)dt曲线的弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:rr()()令xr()cos,yr()sin,则得弧长元素(弧微分):2222ds[x()][y()]dr()r(d)因此所求弧长(自己验证)sr2r2()()d例10.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成悬链线.悬链线方程为yc1xxy(ee)(axa)2求这一段弧长.aoax解:ds1y2dx

6、11(exex)2dx1(exexd)x421aaxxxxaasa(eed)x0(eed)xee2xa(tsint)例11.计算摆线(a)0一拱ya1(cost)0(t2)的弧长.ydx2dy2解:ds(dt)(dt)dto2axa21(cost)2a22tsindtta1(2costd)t2asindt22tt2s2asindt2a2cos8a0220例12.求阿基米德螺线ra(a)0相应于0≤≤2一段的弧长.2a解:sr2r2oxd()()d

7、2222aada1d22sa1d02122a1ln12202a2a14ln(214)2§4.4定积分在物理上的应用变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到xb,力的方向与运动方向平行,则变力所做的功为bWF(x)dxaaxxdxbx在[a,b]上任取子区间[x,xdx]，在其上所作的功为WdWF(x)dx功元素例1.设有一直径为20m的半球形水