微积分定积分在几何中应用

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1、(二)定积分在几何中的应用(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。例如：求曲线和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。所以该曲边梯形的面积为(2)求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

2、图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为。(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

3、看作是右半椭圆，与y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆所围成的图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为(3)求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程给出其中在上连续，则该曲线弧的长度为。(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为，其中在上连续，则该曲线弧的长度为。例如：求曲线从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。解：，于是弧长微元为，。所以，所求弧长为：。一、在几何中的应用(一)微分学在几何中的应用(1)求曲线切线的斜率由导数的几何意义可知，曲线y=(x)在点处的切线等于过该点切线的斜率。即，由此可以求出曲线的切

4、线方程和法线方程。例如：求曲线在点(1，1)处的切线方程和法线方程。分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为，化解得法线方程为2y+x-3=0。(2)求函数值增量的近似值由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。例如：计算的近似值。分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取，，则由微分的定义可知