反常积分与gama函数

《反常积分与gama函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、6-5反常积分与函数1复习定积分的几何意义：由一条连续曲线表示和三条直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积abxyo定积分有:2.被积函数是有界函数.1.积分区间是有限区间,2一、无穷限上的反常积分二、无界函数的反常积分三、函数第五节反常积分与函数第六章3引例：求由曲线y=1/x2，直线x=1和y=0围成图形的面积.xyo1xyo1t一、无穷区间上的反常积分因4定义：设在内连续，取如果极限存在，则此极限叫函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时也称反常积分收敛.否则称反常积分发散.注意：反常积分发散时

2、，仍用记号表示.但只是形式上写出，不表数值.一、无穷区间上的反常积分5解由定义知：显然不存在.故发散.例1计算反常积分6注意:为了简便起见,另解记解若原式例2计算反常积分7证例3证明反常积分当p>1时收敛，当发散.故当p>1时，该反常积分收敛于当时，该反常积分发散.8设在内连续，取如果极限存在，则此极限称为函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时称反常积分否则称反常积分发散.定义29设在内连续，如果都收敛，则称两反常积分之和为在无穷区间上的反常积分.记作即此时也称反常积分否则称反常积分发散.定义310一般地：若是的原

3、函数，则计算方法：例4计算解11解因为不存在，所以反常积分发散.注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例5讨论反常积分的敛散性.12二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).yxo11yxo11引例：求由曲线，及x=0、x=1和y=0围成图形的面积.解：取充分小因13二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).例子或或142.瑕积分定义设在上连续，而如果极限存在，则称此极限值叫在上的反常积分.记作即有(又叫瑕积分).此时称反常积分收敛.若该极限不存在，称其发散.(这时称a是瑕点)

4、，类似地定义：在处为瑕点，则反常积分15另有：若是瑕点时，注意：与同时收敛.才收敛.否则，发散.2.计算方法：若是的原函数，当a为瑕点时，其中当b为瑕点时，其中16解故所给反常积分是收敛的.例6讨论反常积分的敛散性.所以x=a是被积函数的无穷间断点.17例7讨论反常积分的敛散性.解在上除外连续，且是的瑕点.则由于所以发散，因而发散.18证因此当q<1时反常积分收敛，其值为当时反常积分发散.例8证明反常积分当q<1时收敛，当发散.19小结设有反常积分其中f(x)在(a,b)内连续，a可以是b可以是a、b也可以是无穷间

5、断点.对这样的积分，可以象定积分一样作换元.20解例9求反常积分令则再令于是21三、函数定义：广义积分是参变量α的函数,称为函数．函数具有如下递推公式：(α+1)=α(α)(t＞0).特别地,当α=n为正整数时,有(n+1)=n!22函数的重要性质：(α+1)=α(α)特别,(n+1)=n！证明：23例10：利用函数计算下列反常积分.解:(1)(2)24例10：利用函数计算下列反常积分.解:(2)251.反常积分积分区间无限被积函数无界定积分的极限2.两个重要的反常积分小结26作业：P253

6、：1(3)(5)(8)预习：从253到261页27相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互28计算方法29若a是瑕点计算方法若是的原函数当a为瑕点时，其中当b为瑕点时，其中若b为瑕点为瑕点30例1计算广义积分解故原广义积分发散.备用题31例3计算反常积分(P是常数，且p>0).解32例2计算广义积分解瑕点33解不存在.发散.注：例4计算34