反常二重积分收敛性的判定.pdf

《反常二重积分收敛性的判定.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第31卷第3期大学数学Vol_31。№．32015年6月CoLIEGEMATHEMATICSJLln．2015反常二重积分收敛性的判定刘继成，王湘君(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)[摘要]华东师范大学数学系编《数学分析(下册)》教材在第21．8节介绍了反常二重积分收敛的定义、判定定理，作者发现教材中对本节内容的处理不够清晰，特别是没有给出定理21．19关于反常二重积分收敛等价于绝对收敛的直观解释．本文优化了该节的内容，理顺了反常二重积分收敛的判定方法，证明了无界区域上的二重积分转化为累次积分的定理，构造例子说明了反常一重积分收敛与反常二重积分收敛的本质区别．通过分

2、析例子表明，在本文框架下判定反常二重积分收敛性及计算积分值是非常有效的．[关键词]反常二重积分；绝对收敛；无界区域[中图分类号]0172．2[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2015)03—0053—07反常二重积分收敛的定义首先叙述无界区域上的反常二重积分收敛的定义，参见文献E1]P．279．定义1设f(x，)为定义在无界区域D上的二元函数．若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线y，f(x，)在曲线y所围的有界区域E与D的交集EnD—D上恒可积．令d一inf{~／-z+YI(Lz，．)，)E)，)若极限lim1I-厂(z，)曲一存在有限，且与y的取法无关，则称f(

3、x，)在D上的反常二重积分收敛，并记(一(，(1)D。D否则称llf(x，)如发散．该定义表明，反常二重积分收敛要求对任意包围原点的光滑封闭曲线y，-厂()在D上可积，极限(1)收敛与y的取法无关．因此，要想判断Ilf(z，)曲发散，只需要找到一个序列)，，极限(1)不收敛JJ即可．然而，想利用定义1判断极限(1)收敛是困难的．2非负函数反常二重积分收敛的判定若f(x，)是非负的，定义1等价于只要存在一列包围原点的光滑封闭曲线序列)，，满足EcE且当一。。时d一+cx3，其中E为所围的有界区域，f(x，)在D一EnD上可积，且极限(1)存在．由被积函数的非负性及单调收敛定理，极限

4、存在等价于有上界．因此，对非负被积函[收稿日期]2015～03—24[基金项目]华中科技大学自主创新研究基金(2014TS066)54大学数学第31卷数有下面的结论，见文献[1iP．280定理21．17．由定义1，下面定理条件的必要性是显然的．定理2设在无界区域D上f(x，)≥0，y，y。，⋯，，⋯为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足(i)d一inf{~／z。+Y。I(z，)∈y)一+C×3，当—'-CXD，rr(ii)I===supllf(x，)da<+oo，其中D一END，则反常二重积分(1)收敛，并且rrII厂(z，)da—．J正如上面的解释，利用定理2，要判断非负函数在

5、无界区域上反常积分的收敛性及积分值，只需对为一列包围原点的光滑封闭曲线序列验证性质(i)和(ii)，同时得到积分收敛性和积分值．通常，选择E一[一"，]×[～，]或者E一{(z，)l-z。+Y≤n。}，为其边界．显然，满足(i)．对于(ii)，由单调收敛定理，只需验证—liraIl厂(，)da<+CXD．一例1证明反常二重积分IIe一(x2+d(2)JJR主收敛，其中R为第一象限部分，即R车一[O，+。。)×[0，+Cx3)．证取E一{(z，)l92。+≤}，为其边界，D一EN嗯，1"1≥1．则d一一+。。，满足(i)．其次唧f(x,y)da=dOe-r2rdr=号c，一号<+。

6、。，满足(ii)．由定理2知，积分(2)收敛，且』]e。一．R三一注1文献[1]中证明例1的方法是利用P．281定理21．18．经比较，直接利用定理2更简单．定理3设-厂(z)，g(z)≥o，且无穷积分j一Jl0厂()dx及Iz—Jl0g(z)dx收敛，则I一¨-厂(z)g()da收敛，且j—J×I．注2记Jf恤0√r0_。。-厂(z)g(y)dd—JrJr厂()g(Y)．定理2的结论就是反常二重积分化为累次积分R三一的公式rI+。。rl+∞，()g()dxdy—rI+∞，()dxlr+∞g(z)dx．J0J0J0J0注意到，定理3的逆命题一般是不成立的．比如厂()三o，g(z)

7、三1，显然f]厂()g(y)d一0，I厂(z)dx一0，但Ig()dy发散．定理3的证明取E一[一，z，]×[一，72]，为其边界，D一EN嗯，≥1．则d：：=一+CXD，)，满足(i)．其次]imJIfJf(x)g(y)d一(jo厂(洲z)妇-z『j=(y)dy)×z<+oo．第3期刘继成，等：反常二重积分收敛性的判定55定理例分知．．算-坂4●的值．’一常积解考察二重反常积分分!一e-(X2~y2)d6．三由定理3，J收敛，且J—．由例1，有J手．因此一．收例3若P，q>0，