反常积分审敛法判定

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1、第3章一元函数积分学及其应用第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分基本公式与基本定理第3节两种基本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2009年01月05日1南京航空航天大学理学院数学系5.1无穷积分5.2瑕积分定积分积分限有限被积函数有界推广广义积分第5节反常（广义）积分2009年01月05日2南京航空航天大学理学院数学系第5节反常积分5.1无穷积分-无穷区间上积分5.2瑕积分-无界函数的积分5.3无穷区间上积分的审敛准则5.4无界函数积分的审敛准则2009年01月05日3南京航空航天大学理学院数学系5

2、.1无穷积分2009年01月05日4南京航空航天大学理学院数学系2009年01月05日5南京航空航天大学理学院数学系5.2瑕积分2009年01月05日6南京航空航天大学理学院数学系特别地，2009年01月05日7南京航空航天大学理学院数学系１．非负被积函数的判别法5.3无穷区间上积分的审敛准则2009年01月05日8南京航空航天大学理学院数学系证明由引理知2009年01月05日9南京航空航天大学理学院数学系例１解根据定理１，2009年01月05日10南京航空航天大学理学院数学系例２2009年01月05日11南京航空航天大学理学院数学系则(

3、1)当时，二无穷积分有相同的收敛性；(2)当时，若收敛，收敛；(3)当　　　时，若发散，则发散．2009年01月05日12南京航空航天大学理学院数学系例３2009年01月05日13南京航空航天大学理学院数学系例３2009年01月05日14南京航空航天大学理学院数学系例４解2009年01月05日15南京航空航天大学理学院数学系２．绝对收敛与条件收敛定义设无穷区间上的积分则称则称也称2009年01月05日16南京航空航天大学理学院数学系证收敛.例５2009年01月05日17南京航空航天大学理学院数学系瑕积分可转化为无穷积分.由定义例如5.4无

4、界函数积分的审敛准则2009年01月05日18南京航空航天大学理学院数学系2009年01月05日19南京航空航天大学理学院数学系例６解根据比较判别法,2009年01月05日20南京航空航天大学理学院数学系则(1)当时，两瑕积分有相同的收敛性；(2)当时，若收敛，收敛；(3)当　　　时，若发散，则发散．在定理６中若选择　　　　　　　则有Cauchy判别法．2009年01月05日21南京航空航天大学理学院数学系注意：若x=b是瑕点，只需将定理７中的条件改为2009年01月05日22南京航空航天大学理学院数学系例７解由洛必达法则知根据Cauch

5、y判别法,所给瑕积分发散.2009年01月05日23南京航空航天大学理学院数学系类似定理4,有下列结论:例８.判别瑕积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较法2,所给积分绝对收敛.则瑕积分2009年01月05日24南京航空航天大学理学院数学系5.５-函数与B-函数1.-函数特点:1.积分区间为无穷;2009年01月05日25南京航空航天大学理学院数学系2009年01月05日26南京航空航天大学理学院数学系－函数的几个重要性质：2009年01月05日27南京航空航天大学理学院数学系证:(分部积分)注意到:2009年01月05

6、日28南京航空航天大学理学院数学系证:2009年01月05日29南京航空航天大学理学院数学系2009年01月05日30南京航空航天大学理学院数学系2.B-函数特点:由Cauchy判别法当p>0,q>0时，瑕积分收敛．2009年01月05日31南京航空航天大学理学院数学系B－函数的几个重要性质：2009年01月05日32南京航空航天大学理学院数学系证明定理９当p=m,q=n都是正整数时，由p368.例112009年01月05日33南京航空航天大学理学院数学系2009年01月05日34南京航空航天大学理学院数学系