反常积分-的审敛法

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1、第11章反常积分§11.1反常积分的概念　一　基本内容一、无穷限反常积分定义1设函数在上有定义，且在任意区间上可积，如果存在，则称此极限为在上的反常积分，亦称为在上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作．，此时并称收敛．如果极限不存在，则称发散．同理可定义，，几何解释如图．收敛是指图中阴影区域的面积存在．二、瑕积分定义2设函数在上有定义，且在点的任一右邻域内无界，而在上有界可积，如果存在，则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作，，并称收敛，否则称其发散．其中称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同

2、理可得b为瑕点时，．当的瑕点，则定义．若都是的瑕点，则定义．二　习题解答１讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值(1)；解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(2)；解：由于而所以该反常积分收敛，且收敛于．(3)；解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(4)；解：由于．．所以该反常积分收敛，且收敛于．(5)；解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于．(6)；解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(7)；　解：由于，．所以该反常积分发散．(8)．解：由于，．所以该反常积分发散．2讨论下列瑕积

3、分是否收敛？若收敛，则求其值(1)；解：由于为瑕点，而，，所以时，该瑕积分收敛，且值为；所以时，该瑕积分发散．(2)；解：由于为瑕点，而，．所以该瑕积分发散．(3)；解：由于为瑕点，而，．同理，所以该瑕积分收敛，且值为．(4)；解：由于为瑕点，而，所以该瑕积分收敛，且值为．(5)；解：由于为瑕点，而，．所以该瑕积分收敛，且值为．(6)；解：令，则，所以该瑕积分收敛，且值为．(7)；解：令，则．所以该瑕积分收敛，且值为．(8)．解：由于，为瑕点，又，而时，，时，时，所以，瑕积分发散．3举例说明：瑕积分收敛

4、时，不一定收敛．解：例如收敛于，但发散．4举例说明：积分收敛，且在上连续时，不一定有．解：例如．因令得．所以收敛，且在上连续，但不存在．5证明：若收敛，且存在，则．证：假设，不妨设，因，所以，．于是，从而．此与收敛矛盾，故．6证明：若在上可导，且与都收敛，则．证：因为，所以由都收敛知存在，故由上一题知．§11.2无穷限积分的性质与收敛判别一　基本内容一、无穷限积分的性质由无穷限积分的定义知收敛存在；由极限的柯西收敛准则知存在．定理1收敛．性质1若都收敛，则，也收敛，且．性质2若在上可积，则，与同收同发，

5、且．性质3若在上可积，则收敛收敛，且．定义1如果收敛，则称绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别．由于单调上升，所以，收敛有上界．定理2若在上可积，且，则收敛收敛；而发散发散．推论(比较判别法的极限形式)若在上可积，，且，则与同收同发；时，收敛收敛；时，发散发散．当选用为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3(柯西判别法)若在上可积，则，且时，收敛；，且时，发散．定理(柯西判别法的极限形式)若在上可积，且，则，且时，收敛；，且时，发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法此法是对一般

6、无穷限积分的敛散性判别．定理4(狄立克雷判别法)若有界，在上单调，且，则收敛．定理5(阿贝尔判别法)若收敛，在上单调有界，则收敛．二　习题解答1设与是定义在上的函数，，与在上可积，证明：若与都收敛，则与亦收敛．证：(1)因为，，从而，即．故由判别式为负得．即　　．而　　，收敛，所以　收敛．又　　　　　，所以　收敛．证：(2)因为与都收敛，所以收敛．而　　，故绝对收敛，亦收敛．又　．所以由四则运算知收敛．2设、、是定义在上的三个连续函数，且，证明(1)若，都收敛，则也收敛；证：因为，所以，．而　，都收敛，

7、　所以　，都存在，从而　存在，故收敛．(2)若，则．证：因为所以　，，于是由夹逼性定理得，故　．3讨论下列无穷限积分的收敛性：(1)；解：因为，而收敛，故收敛．(2)；解：因为，而收敛，故收敛．(3)；解：因为，而发散，故发散．(4)；解：因为，而收敛，故收敛．(5)；解：当时，发散，当时，收敛．(6)．解：因为，所以当时，发散，当时，收敛．4讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛：(1)；解：因为，而发散，所以　发散．又，在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．综上可知条件收敛．(2)；解：因

8、为，而收敛，所以　绝对收敛．(3)；解：因为，而在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．又，而发散，收敛，所以　发散，综上可知条件收敛．(4)．解：因为,在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．又，而发散，收敛，所以　条件收敛．5举例说明，收敛时，不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛．证：例如，收敛，但发散．又如，如图．则，所以收敛且为绝对收敛．但发散．6证明：若绝对收敛，且，则必定收敛．证：因为，所以，于是时，，又收敛，就