高中数学 2.4 第1课时 向量的数量积导学案 苏教版必修4

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1、2.4　向量的数量积第1课时　向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意义．3．能记住平面向量的数量积与投影的关系．4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义．难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、co

10、sθ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a与b同向，a·b＝

11、a

12、

13、b

14、；当θ＝180°时，a与b反向，a·b＝－

15、a

16、

17、b

18、；当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b.预习交流1(1)已知向量a，b满足a·b＝0，

19、a

20、＝1，

21、b

22、＝2，则

23、2a－b

24、等于__________．(2)已知

25、a

26、＝5，

27、b

28、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝__________.(3)已知

29、a

30、＝5

31、，

32、b

33、＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角θ＝__________.提示：(1)

34、2a－b

35、＝＝＝＝2.(2)a·b＝

36、a

37、

38、b

39、cosθ＝5×4cos120°＝－10.(3)由公式得cosθ＝＝＝－，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a·a可简写为a2，所以a·a＝a2＝

40、a

41、2或

42、a

43、＝；②a⊥b⇔a·b＝0；③a与b的夹角为θ，则cosθ＝；④

44、a·b

45、≤

46、a

47、

48、b

49、.(2)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.①a·b＝b·a；②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)

50、＝λa·b；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.预习交流2对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b在a方向上的投影：设a，b是两个非零向量，

51、b

52、cosθ叫做向量b在a方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的

53、长度

54、a

55、与b在a方向上的投影

56、b

57、cosθ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________．①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a∥b⇒a在b上的投影为

58、a

59、；③a⊥b⇒a·b＝(a·b)2；④a·c＝b·c⇒a＝b.提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知

60、a

61、＝5，

62、b

63、＝4，a与b的夹角θ＝120°.(1)求a·b；(2)求a在b上的投影．思路分析：已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵

64、a

65、＝5，

66、b

67、＝4，a与b的夹角θ＝120°，∴a

68、·b＝

69、a

70、

71、b

72、cosθ＝5×4×cos120°＝5×4×＝－10.(2)由数量积的几何意义可知，a在b上的投影为

73、a

74、cosθ＝5×cos120°＝5×＝－.1．已知

75、a

76、＝3，

77、b

78、＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为__________．答案：解析：向量a在向量b上的投影为

79、a

80、cosθ，应用公式时要分清

81、a

82、与

83、b

84、，不能套错公式，由已知

85、a

86、＝3，

87、b

88、＝5，cosθ＝cos45°＝，则向量a在向量b上的投影为

89、a

90、cosθ＝3×＝.2．已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为____

91、______．①

92、a·b

93、＝

94、a

95、·

96、b

97、⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－

98、a

99、·

100、b

101、；③a⊥b⇔

102、a＋b

103、＝

104、a－b

105、；④

106、a

107、＝

108、b

109、⇔

110、a·c

111、＝

112、b·c

113、.答案：3解析：①∵a·b＝

114、a

115、

116、b

117、cosθ，∴由

118、a·b

119、＝

120、a

121、

122、b

123、及a，b为非零向量可得

124、cosθ

125、＝1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝

126、a

127、

128、b

129、cosπ＝－

130、a

131、

132、b

133、，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行

134、四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有

135、a＋b

136、＝

137、a－b

138、.反过来，若

139、a＋b

140、＝

141、a－b

142、，则以a，b为邻边的四边形为矩形，故有a⊥b，因此命题③是真命题．④当

143、a

144、＝

145、b

146、，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有

147、a·c

148、≠

149、b·c