高中数学 2.4 向量的数量积（2）学案苏教版必修4

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1、2.4向量的数量积（2）【教学目标】掌握平面向量数量积的坐标表示；知道向量垂直的坐标表示的等价条件．【教学重点】平面向量数量积的坐标表示及其有关运算．【教学难点】平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．【教学过程】一、引入：1．向量的夹角：已知两个非零向量和，作=，=，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做________________．当θ＝0°时，与________；当θ＝180°时，与；当θ＝90°时，则称向量与，记作________．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量

2、叫做与的数量积，记作：，即；规定：零向量与任一向量的数量积为_______．3．向量数量积的运算律：设向量，，和实数，则：（1）·=；（交换律）（2）（）·=·（）=（）=·；（向量数乘的结合律）（3）（+）·=．（分配律）练习：（1）已知向量和夹角是，

3、

4、=2，

5、

6、=1，则()2=，

7、+

8、=；（2）已知

9、

10、=2，

11、

12、=5，·=－3，则

13、+

14、=，

15、－

16、=；（3）已知

17、

18、=1，

19、

20、=2，且(－)与垂直，则与的夹角为．二、新授内容：1．向量数量积的坐标表示：设，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，试用和的坐标表示，从而得向量数量积的坐标表示公

21、式：．这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即．2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设，则；（2）两点间的距离公式：若，则；（3）夹角：；（）；（4）垂直的充要条件：设，则．例1．已知=，=，求(3－)·(－2)．【变式拓展】（1）已知，则(2)若＝(3,0)，＝(－5,5)，则与的夹角为________例2．已知＝(1,2)，＝(1，λ)，分别求实数λ的取值范围，使得：(1)与的夹角为直角；(2)与的夹角为钝角；(3)与的夹角为锐角．【变式拓展】（1）已知=（1，2），=（，1），且+2与2垂直，则等于．（2）已知

22、，，若和的夹角为钝角，则的取值范围是（3），若三点共线且，则=____________例3．在中，设=，=，且是直角三角形，求的值．【变式拓展】设，，，求证：是直角三角形．三、课堂反馈：1．已知，，，则；；．2．若，，，则的值为．3．设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有．①(·)－(·)=；②

23、

24、－

25、

26、<

27、－；③(·)－(·)不与垂直；④(3+4)·(3－4)=9

28、

29、2－16

30、

31、2；⑤若为非零向量，·=·，且≠，则⊥（－）．4．求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=；（2）=，=．5．已知向量=，

32、

33、=2，求满足下列

34、条件的的坐标．（1）⊥；（2）．四、课后作业：姓名：___________成绩:___________1．若平面向量＝(1，－2)与的夹角是180°，且

35、

36、＝4，则＝．2．，为平面向量，已知＝(4,3)，2＋＝(3,18)，则，夹角的余弦值为．3．已知向量＝(1，n)，＝(－1，n)，若2－与垂直，则

37、

38、＝．4．若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是．5．已知向量=，（1）与向量平行的单位向量的坐标为；（2）与向量的夹角为的单位向量的坐标为．6．已知若=，=，则+与－垂直的条件是．7．已知向量＝(1,2)，＝(2，－3)．若向量满足(＋)

39、∥，⊥(＋)，则＝．8．已知，，求：（1）；（2）；（3）

40、

41、．9.若=，=，当为何值时：（1）；（2）；（3）与的夹角为锐角．10．已知向量=，=．（1）求

42、+

43、和

44、－

45、；（2）为何值时，向量+与－3垂直？（3）为何值时，向量+与－3平行？11．已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量．（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；（2）是直角三角形，求实数的值．