高中数学 2.4 向量的数量积（1）学案苏教版必修4

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1、2.4向量的数量积（1）【教学目标】理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质．【教学重点】平面向量数量积的概念及其性质的简单应用．SF【教学难点】平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用．【教学过程】一、引入：1．平面向量数量积的物理背景及其含义：物理学中，物体所做的功的计算方法：（其中是与的夹角）2．向量的夹角：已知两个非零向量和，作=，=，则（）叫做向量与的夹角．当时，与；当时，与；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作：．3．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．【说明】①实数

2、与向量的积与向量的数量积的区别：向量的数量积是一个数量，实数与向量的积是一个向量；②两个向量数量积写成；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；③规定：零向量与任一向量的数量积是，即；4．数量积的性质：设、设、都是非零向量，是与的夹角，则：①；（

3、

4、

5、

6、≠0）②当与同向时，；当与反向时，；特别地：简写为，即，或（模的计算方法）；③；④（证明向量垂直的向量法，区别于证明向量共线的向量法）；⑤若是与方向相同的单位向量，则．5．向量数量积的运算律：设向量，，和实数，则：（1）·=；（交换律）（2）（）·=·（）=（）=·；（向量数乘的结合律）（3）（+）·=

7、．（分配律）注：①已知实数、、()，则；但是=·=；（向量数量积不满足消去律）②在实数中，有，但是()·¹·(×)（向量数量积不满足结合律）．二、新授内容：例1．已知向量与向量的夹角为，

8、

9、=2，

10、

11、=3，分别在下列条件下求·：（1）=135°；（2）//；（3）⊥．【变式拓展】已知向量与向量的夹角为，

12、

13、=2，

14、

15、=3，（1）若·=，求向量与向量的夹角；（2）若=120°，求（4+）·（3－2）和

16、+

17、的值；（3）若

18、+

19、，求向量与向量的夹角．例2．已知

20、

21、＝

22、

23、＝5，向量与的夹角为，求：

24、+

25、，

26、

27、．【变式拓展】已知向量a，b满足

28、a

29、＝12，

30、b

31、＝15，

32、a＋b

33、＝

34、25，求

35、a－b

36、.例3．已知正的边长为，设=，=，=，求．三、课堂反馈：1．判断下列各题正确与否，并说明理由．（1）若，则对任意向量，有·；（2）若，则对任意向量，有·0；（3）对任意向量、、，都有()·=·(×)（4）对任意向量，有；（5）若·，则∥；（6）非零向量，，若

37、+

38、=

39、－

40、，则；．2．在中，=，=，且·>0，则是三角形．3．设向量与向量的夹角为，

41、

42、＝1，

43、

44、＝2，分别根据下列所给的值，求：（1）；（2）；（3）．4．已知，，与的夹角为．（1）求的值；（2）求

45、

46、的值．5．设向量，满足，，求．四、课后作业：姓名：___________成绩:_____

47、_______1．已知向量、，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有．①＋；②－；③λ；④·；⑤·；⑥(·)·；⑦·．2．已知，，与的夹角为，则．3．已知

48、a

49、＝9，

50、b

51、＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为________．4．已知a⊥b，

52、a

53、＝2，

54、b

55、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________.5．已知，，与的夹角，则；

56、+

57、．6．（1）已知向量a与b的夹角为120°，且

58、a

59、＝

60、b

61、＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．（2）已知，，若，则．7.已知△ABC中，，则．8.已知，则与的夹角为．9．已知，，与的夹角为，求：（1）；（2）；（

62、3）．10．设向量与向量的夹角为，

63、

64、＝2，

65、

66、＝3，分别根据下列所给的值，求：（1）；（2）；（3）．11．已知，是夹角为的两个单位向量，，．（1）求；（2）求证：．12．已知

67、a

68、＝4，

69、b

70、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

71、a＋b

72、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．