2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十五）导数与函数的极值、最值 理（重点高中）

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1、课时跟踪检测（十五）导数与函数的极值、最值(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)A．1－e　　　　　　　　B．－1C．－eD．0解析：选B　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)

2、上的极大值点的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．3．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为(　　)A.B.C.∪D.∪解析：选D　若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c)2－12＞0，解得c＞或

3、c＜－.所以实数c的取值范围为∪.4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)A．－13B．－15C．10D．15解析：选A　求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又因为f′(x)＝－3x

4、2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，所以当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.5.已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　)A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)解析：选A　因为函数f(x)＝－k，所以函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以f′(x)＝－k＝.因为x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x＝2是导函数f′(x)＝0的唯一根．所以－k＝0在(0，＋∞)上无变号零点．设g(x)＝，

5、则g′(x)＝.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象知，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需k≤e.6.f(x)＝的极小值为________．解析：f′(x)＝＝.令f′(x)<0，得x<－2或x>1.令f′(x)>0，得－2

6、10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.解析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：1448．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是________．解析：因为f(x)的单调递减区间为(－1,

7、1)，所以a>0，由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1，由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，故b＝4.所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.答案：69．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值．(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋

8、b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋