课时跟踪检测(十五) 导数与函数的极值、最值(重点高中).doc

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1、第9页共9页课时跟踪检测(十五)导数与函数的极值、最值(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为(  )A.1-e        B.-1C.-eD.0解析:选B 因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值ln1-1=-1.2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所

2、示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(  )A.1B.2C.3D.4解析:选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知,f′(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点,其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.3.若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为(  )A.B.C.∪D.∪解析:选D 若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f′(x)=3x2-4cx+1=0有两个不

3、等实根,故Δ=(-4c)2-12>0,解得c>或c<-.所以实数c的取值范围为∪.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是(  )A.-13B.-15第9页共9页C.10D.15解析:选A 求导得f′(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,所以a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,所以

4、当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又因为f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,所以当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.故f(m)+f′(n)的最小值为-13.5.已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为(  )A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)解析:选A 因为函数f(x)=-k,所以函数f(x)的定义域是(0,+∞),所以f′(x)=-k=.因为x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,

5、所以x=2是导函数f′(x)=0的唯一根.所以-k=0在(0,+∞)上无变号零点.设g(x)=,则g′(x)=.当x∈(0,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象知,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则应需k≤e.6.f(x)=的极小值为________.第9页共9页解析:f′(x)==.令f′(x)<0,得x<-2或x>1.令f′(x)>0,得-2

6、x)在(-∞,-2),(1,+∞)上是减函数,在(-2,1)上是增函数,∴f(x)极小值=f(-2)=-.答案:-7.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3.解析:设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,x∈(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,∴y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或x=(舍去),∴ymax=6×12×2=144(cm3).答案:1448.已知函数f(x

7、)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是________.解析:因为f(x)的单调递减区间为(-1,1),所以a>0,由f′(x)=3x2-3a=3(x-)(x+),可得a=1,由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.答案:69.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)

8、有极值.(1)求a,b,c的值.(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0,①第9页共9页当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,可得4a+3b+4=0,②由①②,解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为1

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