2016高考数学大一轮复习 14.3坐标系与参数方程教师用书 理 苏教版

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1、§14.3　坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中

2、取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos_θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝.2．简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线；ρcosθ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；ρsinθ＝b表示过且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程．(2)圆的极坐标方程ρ＝2rcosθ表示圆心在(r

3、,0)，半径为

4、r

5、的圆；ρ＝2rsinθ表示圆心在，半径为

6、r

7、的圆；ρ＝r表示圆心在极点，半径为

8、r

9、的圆．3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆方

10、程＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线方程y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案　42．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF＝________.答案　43．直线(t为参数)的倾斜角为________．答案　50°4．(2014·天津)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为______

11、__．答案　3解析　由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝a，∴B点的坐标为(a，a)．又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(a)2＋a2－4a＝0，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.题型一　极坐标与直角坐标的互化例1　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

12、系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解　(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cosθ＋sinθ)＝1.从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，所以N(，)．(2)M点的直角坐标为(2,0)．N点的直角坐标为(0，)．所以P点的直角坐标为(1，)．则P点的极坐标为(，)，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ

13、∈R)．思维升华　直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．　在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解　将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－

14、1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.题型二　参数方程与普通方程的互化例2　已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．解　将两曲线的参数方程化为普通方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－