2016高考数学大一轮复习 6.4数列求和教师用书 理 苏教版

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1、§6.4　数列求和1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.②等比数列的前n项和公式(i)当q＝1时，Sn＝na1；(ii)当q≠1时，Sn＝＝.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结

2、合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　)(2)当n≥2时，＝(－)．(　√　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　×　)

3、(4)数列{＋2n－1}的前n项和为n2＋.(　×　)(5)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　√　)(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　)1．已知在每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝________.答案　640解析　由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－

4、1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640.2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝________.答案　－200解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3．(2014·广东)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________答案　50解析　因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2

5、e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.4．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________.答案　4－解析　设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.两式相减得S＝3×＋(＋＋…＋)－.∴S＝3＋(＋＋…＋)－＝3＋－＝4－.题型一　分组转化法求和例1　已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)

6、n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋(－n)ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝思维升华　某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　(1)数列{an}中，an

7、＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和为________．(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an＝________，其前n项和Sn＝________.答案　(1)78　(2)3n－1＋2n　n(3n＋1)＋2n＋1－2解析　(1)由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，②由①②得an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,