2016高考数学二轮复习 专题十 数学思想方法 第一讲 函数与方程思想、数形结合思想素能提升练 理

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1、专题十　数学思想方法第一讲　函数与方程思想、数形结合思想素能演练提升十八SUNENGYANLIANTISHENGSHIBA掌握核心,赢在课堂1.已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(　　)A.3B.4C.5D.6解析:由于3,4,5构成直角三角形,故其内切圆半径为r==1.当该圆运动时,最多与直角三角形的两边有4个交点.答案:B2.(2014山西忻州高三联考,6)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为(　　)A.(0,3]B.[-1,1]C.(-∞,3]D.[3,+∞)解析:直线y=k

2、x-1显然经过定点M(0,-1),由图形直接观察知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1和直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).答案:D3.若a>0,b>0,且a+b=2,则ab+的最小值为(　　)A.2B.3C.4D.2解析:∵2=a+b≥2,∴≤1.∴ab∈(0,1].∵函数f(x)=x+在x∈(0,1]上单调递减,∴ab+的最小值为f(1)=2.答案:A4.设平面点集A=,B={(x,y)

3、(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)A.B.C.D.解析:不等式(y-x)≥0可

4、化为集合B表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,A∩B所表示的平面区域如图所示.由于曲线y=,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半.故选D.答案:D5.若方程x+k=有且只有一个解,则k的取值范围是(　　)A.[-1,1)B.k=±C.[-1,1]D.k=或k∈[-1,1)解析:令y=x+k,y=,则x2+y2=1(y≥0).作出图象如下:而y=x+k中,k是直线的纵截距,由图知:方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k=或-1≤k<1.答案:D6.(2014河南洛阳高三统一测试,12)已知

5、函数f(x)=

6、log2x

7、-m(m>0)的零点分别为x1,x2(x1

8、log2x

9、-(m>0)的零点分别为x3,x4(x3

10、1,).∴k=.答案:8.(2014甘肃兰州、张掖联考,14)已知x,y满足约束条件则x2+y2的最小值是　　　　　. 解析:画出不等式组表示的平面区域如图所示,x2+y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方.由题意知,当以原点为圆心的圆与直线3x+4y-4=0相切时,x2+y2取得最小值,即,所以(x2+y2)min=.答案:9.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函数f(x)的表达式;(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=

11、f(a)有三个实数解.(1)解:由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,于是f1(x)=x2.设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(),B(-,-),由

12、AB

13、=8,得k=8,于是f2(x)=.故f(x)=x2+.(2)证法一:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即=-x2+a2+.在同一平面直角坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是以为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a

14、)有一个负数解.又∵f2(2)=4,f3(2)=a2+-4,当a>3时,f3(2)-f2(2)=a2+-8>0,∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在f2(x)图象的上方.故f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,在a>3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.证法二:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x-a)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a>3,Δ=a4+32a>0,得x=,因此x2=,x3=,∵a>3,∴x1≠