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1、第六节孙子定理及其应用举例教学目的：1、熟练掌握孙子定理内容及证明；2、会用孙子定理求解一次同余方程式组.教学重点：用孙子定理求解一次同余方程式组.教学课时：4课时教学过程在我国古代《孙子算经》中有：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问：物有几何？对于“物不知其数”问题，程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀：三人同行七十稀，五树梅花卄一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.如果我们设所求的物为个，则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组.将上面的同余式组推广，我们可得(1
2、)本节主要讨论同余方程组(1)的解问题.定理1(孙子定理)设m1,m2,L,mk是正整数，(mi,mj)=1，1£i,j£k，i¹j.(2)记m=m1m2Lmk，Mi=，1£i£k，则存在整数Mi¢（1£i£k），使得MiMi¢º1(modmi)，(3)MiMi¢º0(modmj)，1£j£k，i¹j，(4)并且(modm)(5)是同余方程组(1)对模m的唯一解，即若有任意的x使方程组(1)成立，则xºx0(modm).(6)继《孙子算经》之后，南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题.德国
3、数学家高斯﹝K.F.Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理.公元1852年，英国基督教士伟烈亚士﹝AlexanderWylie公元1815-1887年﹞将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理也称为“中国的剩余定理”﹝Chineseremaindertheorem﹞.证明由式(2)，有(Mi,mi)=1，因此利用辗转相除法可以求出Mi¢与yi，使得MiMi¢+yim
4、i=1，即Mi¢满足式(3)和式(4).由式(3)与式(4)，对于1£i£k，有x0ºaiMiMi¢ºai(modmi)，1£i£k.若x也使式(1)成立，则xºx0(modmi)，1£i£k，因此xºx0(mod[m1,m2,L,mk]).但是，由式(2)可知[m1,m2,L,mk]=m，这就证明了式(6).证毕.定理2在定理1的条件下，若式(1)中的a1,a2,L,ak分别通过模m1,m2,L,mk的完全剩余系，则式(5)中的x0通过模m1m2Lmk的完全剩余系.证明略.定理3同余方程组(1)有解的充要条件是aiºaj(mod(
5、mi,mj))，1£i,j£n.(7)证明必要性是显然的.下面证明充分性.当n=2时，由前一节例8可知充分性成立.假设充分性当n=k时成立.假设式(7)当n=k+1时成立.我们来考虑同余方程组xºai(modmi)，1£i£k+1.由前一节例8，存在bk，使得xºbk(mod[mk，mk+1])满足同余方程组xºak(modmk)，xºak+1(modmk+1).在同余方程组中，由式(7)有aiºaj(mod(mi,mj))，1£i,j£k-1，因此，若能证明aiºbk(mod(mi,[mk,mk+1]))，1£i£k-1.(8)则
6、由归纳假设就可以证明充分性.由bk的定义，有akºbk(modmk)，ak+1ºbk(modmk+1)(9)而且，由于假设式(7)当n=k+1时成立，所以，对于1£i£k-1有aiºak(mod(mi,mk))，aiºak+1(mod(mi,mk+1))，由此及式(9)得到，对于1£i£k-1，有aiºbk(mod(mi,mk))，aiºbk(mod(mi,mk+1)).因此aiºbk(mod[(mi,mk),(mi,mk+1)]).由上式及第一章的例题，就得到式(8).证毕.定理4设m=m1m2Lmk，其中m1,m2,L,mk是两
7、两互素的正整数，f(x)是整系数多项式，以T与Ti（1£i£k）分别表示同余方程f(x)º0(modm)(10)与f(x)º0(modmi)(11)的解的个数，则T=T1T2…Tk.证明因为同余方程(10)等价于同余方程组f(x)º0(modmi)，1£i£k.(12)对于每i（1£i£k），设同余方程(11)的全部解是(modmi)，(13)则同余方程组(12)等价于下面的T1T2…Tk个方程组：，(14)其中通过式(13)中的数值，即通过同余方程(11)的全部解.由孙子定理，对于选定的每一组{}，同余方程组(14)对模m有唯一解
8、，而且，由定理2，当每个通过(13)式中的值时，所得到的T1T2…Tk个同余方程组(14)的解对于模m都是两两不同余的.证毕.由定理4及算术基本定理，我们知道，解一般模的同余方程可以转化为解模为素数幂的同余方程.例1求整数n，它被3，
