《数论教案》word版

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1、数论教案第一章整数的可除性　　　　　　　　　　　　　　　整　　除　　整除是数论中的基本概念，在这一部分中，我们从这个概念出发，引进带余数除法及辗转相除法，然后利用这两个工具，建立最大公因数与最小公倍数的理论，进一步证明极具重要性的算术基本定理。最后介绍两个重要的函数[]与{},并用[]来说明如何把!表成质数幂的乘积。　　整除的定义　　设，是任意两个整数，其中≠０，如果存在一个整数使得等式　　　　　　　　　　　　　　=　　　　　　　　(1)成立，我们就称为整除或被整除,记做

2、，此时我们把叫做的因数，把叫做的倍数，如果（1）里的整数不存在，就说不能整除或不被整除，记做　

3、　　　　　　　　　　　。　　例如＝6，＝3时，有q＝2使＝，故3

4、6；又如＝4，＝3时，不存在整数使＝bq，故34。　　整除的性质　　定理1　若是的倍数，是的倍数，则是的倍数。即：　　　　　　　　　

5、，

6、

7、。　　证：由

8、，

9、及整除的定义知存在整数使得。因此，但是一个整数，故ｃ

10、。　　定理2　若，都是的倍数，则也是的倍数。　　证　，都是的倍数的意义就是存在两个整数，使得所以，但为整数，故是的倍数。　　用类似方法可以证明下面的定理3，请同学们自己给出证明。　　定理3　若都是的倍数，是任意个整数，则是的倍数。　　例　证明3

11、(+1)(2+1)，其中是任何整数。　　证　因为

12、　　(+1)(2+1)=(+1)[(+2)+(-1)]=(+1)(+2)+(-1)(+1)，　　而三个连续整数的积可被3整除，于是3

13、(+1)(+2)，3

14、(-1)(+1)。所以3

15、(+1)(2+1)。第一章整数的可除性　　　　　　　　　　　　　带余数除法　　任给两个整数，它们之间不一定有整除关系，一般有下面的带余数除法。　　定理　若，是两个整数，其中>0，则存在两个整数及，使得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）成立，而且及是唯一的。　　证　作整数序列　　　　…，－3，－2，－，0，，2，3，…　　则必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数使得成立。

16、令－＝，则为整数，且＝＋，而。　　设是满足（2）的另两个整数，则　　　　　　　　　　，　　所以，于是，故。由于都是小于的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。　　整数的很多性质都可以从这一定理引导出来，我们这一章的最主要部分就是建立在这一定理的基础上的。　　定义　（2）中的叫做被除所得的不完全商，叫做被除所得到的余数。　　例　设＝15，则当＝255时　　　　＝17＋0，＝17，＝0<15；而当＝417时，＝27＋12，＝27，＝12<15；　当＝－81时，＝－6＋9，＝－6，＝9<15。　　注　在定理中我们要求>0，实际上只需≠0即可，即有下面的　　推

17、论　若，是两个整数，其中，则存在两个整数及使得　　　　　　　　＝＋，成立，而且及是唯一的。第一章整数的可除性　　　　　　　　最大公因数　　利用前面的带余数除法，我们可以着手研究整数的最大公因数及实际求法，处理整个问题的方法就是用所谓的辗转相除法。　　最大公因数的定义　设是(≥2)个整数，若整数是它们之中每一个的因数，那么就叫做的一个公因数。整数的公因数中最大的一个叫做最大公因数，记作。若，就称互质，若中每两个互质，我们就说它们两两互质。　　注　若整数两两互质，则，但反过来却不一定成立，比如(6，10，15)＝1，但（6，10）≠1，（6，15）≠1，（10，15）≠

18、1。又由定义知，当不全为零时，是存在的。　　为了能方便地计算最大公因数，下面我们先讨论一下最大公因数的性质，通过这些性质，就可找到计算最大公因数的方法。　　最大公因数的性质　　定理1　若是任意个不全为零的整数，则　　（1）与的公因数相同；　　（2）　　证　我们只证明（1），（2）可由（1）及最大公因数的定义得出，设是的任一公因数，则，，于是，又或，故，，所以也是的公因数。反之，设是的任一公因数，则，。因或，故或，当时，由及整除性质可得，。所以也是的公因数。　　利用定理1，可将负数的最大公因数转化为正数的情况。下面先讨论两个整数的最大公因数的计算方法，然后再推广到个的

19、情况。　　定理2　若是任一正整数，则（0，）＝。　　证　因

20、0，

21、，所以是0和的公因数，设是0和的任一公因数，则

22、，所以=，故。从而≤。由定义知（0，）＝。　　定理3　设，，ｃ是任意三个不全为零的整数，且　　　　　　　　　　　＝＋ｃ，其中是整数，则，与，有相同的公因数，从而（，）＝（，ｃ）。　　证　设是，的任一公因数，则

23、，

24、，由于＝－，于是由整除的性质知

25、，从而为，ｃ的一个公因数。同理可证，ｃ的任一公因数也是，的一个公因数。故，与，ｃ有相同的公因数。再由最大公因数的定义知后一结论成立。　　最大公因数的计算　　由定理3及带余数除法，可得出两个数的最大公因数的计算