《实变函数论》word版

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1、实变函数课程报告实变函数课程报告姓名学号指导教师实变函数课程报告实变函数【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数1.引言在1

2、9世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度

3、理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设在上有界，满足，任给，作分割=L其中，，并作点集则对应于上面分割的积分和为,其中为点集的长度，这种积分的优点在于可以取很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——

4、可测函数类。积分和计算的关键是点集的度量，对于通常的区间的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到第6页共6页实变函数课程报告在中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。2.Lebesgue外测度2.1Lebesgue外测度定义Def1：设。若是

5、中的可数个开矩体，具有，则称为的一个—覆盖，我们称为点集的Lebesgue外测度。2.2Rn中点集的外测度性质（1）非负性：（2）单调性：若，则（3）次可加性：证明：，的L—覆盖，使得，，显然，是的L—覆盖，从而有。由的任意性可知结论成立。（4）距离可加性：设，是中的点集，若它们的距离证明：显然成立只要证明即可。第6页共6页实变函数课程报告设，对，作的L—覆盖，使得，其中的边长都小于，现将分为如下两组：（ⅰ）（ⅱ）且其中任一矩体皆不同时含有与中的点由任意性可知综上知（1）平移不变性：设，，令，则证明：E的任一L—覆盖经过的平移后，仍是

6、的L—覆盖，即同理若对作向量平移，则有，即综上知3.可测集与测度3.1可测集与测度定义Def2：设，若对任意的点集，有，则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，其中T称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为。对于可测集E，其外测度称为测度记为，也就是通常所说的上的Lebesgue测度。证明：对，的L—覆盖，使得第6页共6页实变函数课程报告由任意性知：（注意：一般为了证明中任一点集E是可测集，则只需对任意一点集，证明成立即可，有时也可利用，则）3.2可测集的性质（1）；（2）若，则；（3）若，则。（4）若，则其并集也属于；若进一

7、步有，则，即在上满足可数可加性（或称为-可加性）。4.可测函数4.1可测函数定义Def3：设是定义在可测集上的广义实值函数，若对于任意的实数t，点集是可测集，则称是E上的可测函数，或称在E上可测。4.2可测函数运算性质（1）若，是E上的实值可测函数，则下列函数①;②;③都是E上可测函数证：①对于若，则由，可知。在E上可测。第6页共6页实变函数课程报告若，则由，由在E上可测知可测，即在E上可测。若，则，即在E上可测。②对于，，其中是全体有理数，从而可知是E上的可测函数。③首先，在E上可测，对于，，其中由上②知在E上可测。即在E上可测。（

8、1）若是E上的可测函数列，则下列函数①;②;③;④都是E上可测函数（2）若是E上的可测函数列，且有，则是E上的可测函数。5.Lebesgue积分5.1Lebesgue积分的定义Def4：设是上的非负可测函数，我们定义是E