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时间:2019-05-08
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1、数论模块综合复习知识框架一.质数与合数1.基本概念一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数.要特别记住:0和1不是质数,也不是合数.考点:⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意.2.部分特殊数字的分解;;;;;;;;.3.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不
2、是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p就为质数.例如:149很接近,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是质数.二、约数与倍数1.1求最大公约数的方法①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.例如:,,所以;②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘.例如:,所以;六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综
3、合复习Page13of14③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止.那么,最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).例如,求600和1515的最大公约数:;;;;;所以1515和600的最大公约数
4、是15.1.2求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;即为所求.2.1求最小公倍数的方法①分解质因数的方法;例如:,,所以;②短除法求最小公倍数;例如:,所以;③.2.2求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数;求出各个分数分母的最大公约数;即为所求.例如:注意:两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如:3.1求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数
5、是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授课时应重点讲解,公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其
6、他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。六年级奥数杯赛冲刺.数论模块.数论模块综合复习Page13of143.2求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。如:,所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可。三、余数问题三大余数定理:1.余数的加法定理a与b的
7、和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16
8、除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子表示为:如果
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