奥数：第讲.数论综合（一）.学生版

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1、第十讲数论综合（一）教学目标1.理清数论模块知识体系，建立起各版块知识间的有机联系；2.重点掌握整除及约数倍数问题的常见题型．知识点拨数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．例题精讲模块一：整除问题两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和．例题11【巩固】若四位数能被15整除，则代表的数字是多少？在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小．例题22(2008”数学解题能力展示”初赛)已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？例题33从

2、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？例题44【巩固】请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？例题55三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：．如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？例题66在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？例题77为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数

3、字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？例题88【巩固】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？例题99在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除．例题1010将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6

4、位数除以667的结果是多少？例题11111至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？例题1212有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．例题1313已知：．则？例题

5、1414一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为”十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？例题1515【巩固】有一个九位数的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数可被2整除，三位数可被3整除，四位数可被4整除，……依此类推，九位数可被9整除．请问这个九位数是多少？板块二约数倍数问题一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？例题1616已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．例题1717(2008年101中学考题)已知A数有7个约数

6、，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．例题1818已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和．例题1919【巩固】数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？例题2020【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？例题2121(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．例题2222家庭作业在523后面写出三个数字，使所

7、得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？练习11有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．练习22已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？练习33能被210整除且恰有210个约数的数有个．练习44月测备选从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多