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1、第八节一次不定方程设a1,a2,L,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1,x2,L,xn的方程()a1x1+a2x2+L+anxn=b(1)是n元一次不定方程.若存在整数x10,x20,L,xn0满足方程(1)，则称(x10,x20,L,xn0)是方程(1)的解，或说x1=x10，x2=x20，L，xn=xn0是方程(1)的解.1、定理1方程(1)有解的充要条件是(a1,a2,L,an)½b.(2)证明：记d=(a1,a2,L,an).若方程(1)有解，设为(x1,x2,L,xn).则由d½ai（1£i£n）及整除的性质容易知道式(2
2、)成立.必要性得证.另一方面，存在整数y1,y2,L,yn使得a1y1+a2y2+L+anyn=(a1,a2,L,an)=d.因此，若式(2)成立，则就是方程(1)的解，充分性得证.证毕2、定理2设a，b，c是整数，方程ax+by=c(3)若有解(x0,y0)，则它的一切解具有，tÎZ(4)的形式，其中.证明：容易验证，由式(4)确定的x与y满足方程(3).下面证明，方程(3)的解都可写成式(4)中的形式.设(x,y)是方程(3)的解，则由ax0+by0=ax+by=c得到a(x-x0)=-b(y-y0)，.由此，以及得到x-x0，因此存在
3、整数t，使得.证毕定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤：(ⅰ)判断方程是否有解，即(a,b)½c是否成立；(ⅱ)利用辗转相除法求出x0，y0，使得ax0+by0=(a,b)；(ⅲ)写出方程(3)的解3、定理3设a1,a2,L,an,b是整数，再设(a1,a2,L,an-1)=dn-1，(a1,a2,L,an)=dn，则(x1¢,x2¢,L,xn¢)是方程(1)的解的充分必要条件是存在整数t，使得(x1¢,x2¢,L,xn¢,t)是方程组(5)的解.证明：若有整数t，使得(x1¢,x2¢,L,xn¢,t)是方程组(5)的解，则显然(x1¢,
4、x2¢,L,xn¢)满足方程(1).设(x1¢,x2¢,L,xn¢)是方程(1)的解，则a1x1¢+a2x2¢+L+an-1xn-1¢+anxn¢=b.(6)令a1x1¢+a2x2¢+L+an-1xn-1¢=b¢，则dn-1=(a1,a2,L,an-1)½b¢.因此，存在tÎZ，使得a1x1¢+a2x2¢+L+an-1xn-1¢=dn-1t，(7)再由式(6)，得到dn-1t+anxn¢=b，即(x1¢,x2¢,L,xn¢,t)满足方程组(5).证毕定理3说明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程组(5)中的第二个方程，再解方程组(5)中的
5、第一个方程，于是，解n元一次不定方程就化为解n-1元一次不定方程.重复这个过程，最终归结为求解二元一次不定方程.记(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3，L，(dn-2,an-1)=dn-1，(dn-1，an)=dn，逐个地解方程dn-1tn-1+anxn=b，dn-2tn-2+an-1xn-1=dn-1tn-1，LLd2t2+a3x3=d3t3，a1x1+a2x2=d2t2，并且消去中间变量t2,t3,L,tn-1，就可以得到方程(1)的解.例1求不定方程3x+6y=15的解.解(3,6)=3½15，所以方程有解.由辗转相除法（或直接
6、观察），可知x=-1，y=1是3x+6y=3的解，所以x0=-5，y0=5是原方程的一个解.由定理2，所求方程的解是，tÎZ.例2求不定方程3x+6y+12z=15的解.解原方程等价于x+2y+4z=5.(8)由定理3，依次解方程t+4z=5，x+2y=t，分别得到，uÎZ，(9)，vÎZ.(10)将式(9)与式(10)中的t消去，得到，u,vÎZ.注：本例在解方程时，首先将原方程化为等价方程(8)，这使问题简化.例1也可以如此处理.例3设a与b是正整数，(a,b)=1，则任何大于ab-a-b的整数n都可以表示成n=ax+by的形式，其中x
7、与y是非负整数，但是n=ab-a-b不能表示成这种形式.解(ⅰ)由定理2，方程ax+by=n(11)的解具有，tÎZ(12)的形式，其中x0与y0满足方程(11).由假设条件n>ab-a-b及式(11)与式(12)，有ax=n-by=n-b(y0-at)>ab-a-b-b(y0-at).(13)取整数t，使得0£y=y0-at£a-1，则由式(13)得到ax>ab-a-b-b(a-1)=-a，x>-1，x³0，即n=ax+by，x³0，y³0.(ⅱ)设有x³0，y³0，使得ax+by=ab-a-b，(14)则a(x+1)+b(y+1)=ab
8、.(15)所以a½b(y+1).但是(a,b)=1，于是必有a½y+1，y+1³a.同理可以证明x+1³b，从而a(x+1)+b(y+1)³2ab，这与式(15)矛盾，所以(14
