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1、第二节剩余类与完全剩余系第三节缩系一、剩余类与完全剩余系由上一节我们知道，同余关系满足自反性、对称性、传递性，即对于整数集来说，同余是一个等价关系.这样，可以按同余关系将所有的整数分类.1、定义1给定正整数m，对于每个整数i，0£i£m-1，称集合Ki(m)={n；nºi(modm)，nÎZ}是模m的一个剩余类.显然，每个整数必定属于且仅属于某一个Ki(m)（0£i£m-1），而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模m是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模m是不同余的.例如，模5的五个剩余类是K0(5)={L,-10,-5,0,5,10,L}，
2、K1(5)={L,-9,-4,1,6,11,L}，K2(5)={L,-8,-3,2,7,12,L}，K3(5)={L,-7,-2,3,8,13,L}，K4(5)={L,-6,-1,4,9,14,L}.2、定义2设m是正整数，从模m的每一个剩余类中任取一个数xi（0£i£m-1），称集合{x0,x1,L,xm-1}是模m的一个完全剩余系（或简称为完全系）.由于xi的选取是任意的，所以模m的完全剩余系有无穷多个，通常称(ⅰ){0,1,2,L,m-1}是模m的最小非负完全剩余系；(ⅱ)或是模m的绝对最小完全剩余系.例如，集合{0,6,7,13,24}
3、是模5的一个完全剩余系，集合{0,1,2,3,4}是模5的最小非负完全剩余系.3、定理1整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是(ⅰ)A中含有m个整数；(ⅱ)A中任何两个整数对模m不同余.4、定理2设m³1，a，b是整数，(a,m)=1，{x1,x2,L,xm}是模m的一个完全剩余系，则{ax1+b,ax2+b,L,axm+b}也是模m的一个完全剩余系.证明：由定理1，只需证明：若xi¹xj，则axi+baxj+b(modm).(1)事实上，若axi+bºaxj+b(modm)，则axiºaxj(modm)，由此得到xiºxj(modm)，因此
4、xi=xj.所以式(1)必定成立.证毕5、定理3设m1,m2ÎN，AÎZ，(A,m1)=1，又设，分别是模m1与模m2的完全剩余系，则R={Ax+m1y；xÎX，yÎY}是模m1m2的一个完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若x¢,x¢¢ÎX，y¢,y¢¢ÎY，并且Ax¢+m1y¢ºAx¢¢+m1y¢¢(modm1m2)，(2)则x¢=x¢¢，y¢=y¢¢.事实上，由第一节定理5及式(2)，有Ax¢ºAx¢¢(modm1)Þx¢ºx¢¢(modm1)Þx¢=x¢¢，再由式(2)，又推出m1y¢ºm1y¢¢(modm2)Þy¢ºy¢¢(modm2
5、)Þy¢=y¢¢.推论若m1,m2ÎN，(m1,m2)=1，则当x1与x2分别通过模m1与模m2的完全剩余系时，m2x1+m1x2通过模m1m2的完全剩余系.6、定理4设miÎN（1£i£n），则当xi通过模mi（1£i£n）的完全剩余系时，x=x1+m1x2+m1m2x3+L+m1m2Lmn-1xn通过模m1m2Lmn的完全剩余系.证明：对n施行归纳法.当n=2时，由定理3知定理结论成立.假设定理结论当n=k时成立，即当xi（2£i£k+1）分别通过模mi的完全剩余系时，y=x2+m2x3+m2m3x4+L+m2Lmkxk+1通过模m2m3L
6、mk+1的完全剩余系.由定理3，当x1通过模m1的完全剩余系，xi（2£i£k+1）通过模mi的完全剩余系时，x1+m1y=x1+m1(x2+m2x3+L+m2Lmkxk+1)=x1+m1x2+m1m2x3+L+m1m2Lmkxk+1通过模m1m2Lmk+1的完全剩余系.即定理结论对于n=k+1也成立.7、定理5设miÎN，AiÎZ（1£i£n），并且满足下面的条件：(ⅰ)(mi,mj)=1，1£i,j£n，i¹j；(ⅱ)(Ai,mi)=1，1£i£n；(ⅲ)mi½Aj，1£i,j£n，i¹j.则当xi（1£i£n）通过模mi的完全剩余系Xi时
7、，y=A1x1+A2x2+L+Anxn通过模m1m2Lmn的完全剩余系.证明：由定理1只需证明：若xi¢,xi¢¢ÎXi，1£i£n，则由A1x1¢+A2x2¢+L+Anxn¢ºA1x1¢¢+A2x2¢¢+L+Anxn¢¢(modm1Lmn)(3)可以得到xi¢=xi¢¢，1£i£n.事实上，由条件(ⅲ)及式(3)易得，对于任意的i，1£i£n，有Aixi¢ºAixi¢¢(modmi).由此并利用条件(ⅱ)和第一节定理5推得xi¢ºxi¢¢(modmi)，因此xi¢=xi¢¢.例1设A={x1,x2,L,xm}是模m的一个完全剩余系，以{x}表
8、示x的小数部分，证明：若(a,m)=1，则.解：当x通过模m的完全剩余系时，ax+b也通过模m的完全剩余系，因此对于任意的i（1£i£m），axi+b
