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时间:2018-12-19
《高考数学一轮总复习 9.5 圆锥曲线综合问题教案 理 新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一 求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x2=2y,F是抛物线的焦点,过点F的直线l与抛物线交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2,记l1和l2交于点M.(1)求证:l1⊥l2;(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+.联立消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),则有x1x2=-1,将抛物线方程改写为y=x2,求导得y′=x.所以过点A的切线l1的斜率是k1=x1,过点B的切线l2的斜率是k2=x2.因为k1k
2、2=x1x2=-1,所以l1⊥l2.(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1),即y-=x1(x-x1).同理直线l2的方程为y-=x2(x-x2).联立这两个方程消去y得-=x2(x-x2)-x1(x-x1),整理得(x1-x2)(x-)=0,注意到x1≠x2,所以x=.此时y=+x1(x-x1)=+x1(-x1)==-.由(1)知x1+x2=2k,所以x==k∈R.所以点M的轨迹方程是y=-.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一,本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念,“求轨迹”除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨
3、迹的形状,这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x>3)D.-=1(x>4)【解析】如图,
4、AD
5、=
6、AE
7、=8,
8、BF
9、=
10、BE
11、=2,
12、CD
13、=
14、CF
15、,所以
16、CA
17、-
18、CB
19、=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为-=1(x>3),故选C.题型二 圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上,对角
20、线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-<n<.设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=.因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以
21、AB
22、=
23、BC
24、=
25、CA
26、.所以菱形ABCD的面积S=
27、AC
28、2.又
29、AC
30、2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
31、,所以S=(-3n2+16)(-<n<).所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值4.【点拨】建立“目标函数”,借助代数方法求最值,要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围,虽然也能得出答案,但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q,若BP⊥PQ,则点Q横坐标的取值范围是 .【解析】如图,B(-1,0),设P(xP,x-1),Q(xQ,x-1),由kBP·kPQ=-1,得·=-1.所以xQ=-xP-=-(xP-1)--1.因为
32、xP-1+
33、≥2,所以xQ≥1或x
34、Q≤-3.题型三 求参数的取值范围及最值的综合题【例3】(2013浙江模拟)已知m>1,直线l:x-my-=0,椭圆C:+y2=1,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为直线l:x-my-=0经过F2(,0),所以=,解得m2=2,又因为m>1,所以m=.故直线l的方程为x-y-1=0.(2)A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得2y2+my+-1=0,则由
35、Δ=m2-8(-1)=-m2+8>0知m2<8,且有y1+y2=-,y1y2=-.由于F1(-c,0),F2(c,0),故O为F1F2的中点,由=2,=2,得G(,),H(,),
36、GH
37、2=+.设M是GH的中点,则M(,),由题意可知,2
38、MO
39、<
40、GH
41、,即4[()2+()2]<+,即x1x2+y1y2<0.而x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=(m2+1)(-).所以-<0,即m2<4.又因为m>1且Δ>0,所以1<m<2.所以m的取值范围是(1,2).【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解
42、析几何的基本思想方法和综
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