高考数学一轮总复习 6.5 数列的综合应用教案 理 新人教a版

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1、6.5　数列的综合应用典例精析题型一　函数与数列的综合问题【例1】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a是常数，求证：{an}成等比数列；(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝时，求Sn.【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，所以an＝a2n＋2，所以＝＝a2(n≥2)为定值，所以{an}为等比数列.(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2，当a＝时，bn＝(2n＋2)·()2

2、n＋2＝(n＋1)·2n＋2，Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，2Sn＝2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，两式相减得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3＝16＋－(n＋1)·2n＋3，所以Sn＝n·2n＋3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)A.B.C.D.【解析】由f′(x)＝mxm－1

3、＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1.所以f(x)＝x2＋x，则＝＝－.所以Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选C.题型二　数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1＝，经过n年绿化面积为an＋1，求证：an＋1＝an＋；(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？【解析】(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1可表示为

4、an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%，即an＋1＝80%an＋16%＝an＋.(2)由an＋1＝an＋有，an＋1－＝(an－)，又a1－＝－≠0，所以an＋1－＝－·()n，即an＋1＝－·()n，若an＋1≥，则有－·()n≥，即()n－1≤，(n－1)lg≤－lg2，(n－1)(2lg2－lg5)≤－lg2，即(n－1)(3lg2－1)≤－lg2，所以n≥1＋＞4，n∈N*，所以n取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.【变式训

5、练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是(　　)A.P(2006)＝402B.P(2007)＝403C.P(2008)＝404D.P(2009)＝405【解析】考查数列的应用.构造数列{Pn}，由题知P(0)＝0，P(5)＝1，P(10)＝2，P(15)＝3.所以P(2005)＝401，P(2006)＝401＋1＝402，P(2007)＝401＋1＋1＝403，P(

6、2008)＝401＋3＝404，P(2009)＝404－1＝403.故D错.题型三　数列中的探索性问题【例3】{an}，{bn}为两个数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn(，)为直角坐标平面上的点.(1)对n∈N*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足log2Cn＝，其中{Cn}是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)在同一直线上，并求此直线方程.【解析】(1)由＝，得an＝2n.(2)由已知有Cn＝22n－3，由log2Cn的表达式可知：2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1

7、)(2n－3)，①所以2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n－5).②①－②得bn＝3n－4，所以{bn}为等差数列.故点列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共线，直线方程为y＝3x－4.【变式训练3】已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈N*).若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式an＝　　　　.【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.由a1＞1，a4＞3，S3≤9得令x＝a