高考数学一轮总复习 2.10 函数的综合应用教案 理 新人教a版

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1、2.10函数的综合应用典例精析题型一　抽象函数的计算或证明【例1】已知函数f(x)对于任何实数x，y都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数.【证明】因为对于任何实数x、y都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，y＝x，则f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数.【点拨】对于判断抽

2、象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R，请判定f(x)的奇偶性.【解析】取x＝y＝0，得f(0)＝0.取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.题型二　函数与导数的综合应用【例2】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间

3、(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.(2)方法一：①当g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－∈(－1,1)；②当g(1)＝7－a＝0，即a＝7时，f′(x)的零点x＝－∉(－1,1)，不合题意；③当g(1)g(－1)＜0时，－1＜a＜7；当时，－≤a＜－1.综上所述，a∈[－，7).方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4

4、x，x∈(－1,1)有公共点，作图可得a∈[－，7).方法三：等价于当x∈(－1,1)时，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋)2－∈[－，7).【变式训练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则a＋b＋c的取值范围为　　　　.【解析】由已知c＝－1，a－b＋c＝0，所以a＋b＋c＝2a－2.又⇒0＜a＜1，所以a＋b＋c∈(－2,0).题型三　化归求函数的最大值和最小值问题【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：投资A商品(万元)123456获纯利(

5、万元)0.651.391.8521.841.40投资B商品(万元)123456获纯利(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象.据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，①y＝bx，②把x＝1，y＝0.65代入①得a＝0.15，

6、故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y＝－0.15(x－4)2＋2表示，再把x＝4，y＝1代入②可得b＝0.25，故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y＝0.25x表示，设下个月投资A商品x万元，则投资B商品(12－x)万元，则可获得纯利润为y＝－0.15(x－4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x＋2.6，可得当x≈3.2时，y取最大值4.1万元.故下个月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元.【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体

7、现.根据表中所列数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.【变式训练3】求函数y＝的值域.【解析】x＝0时，y＝0；x＞0时，y＝，所以0＜y＜1；x＜0时，y＝，所以－≤y＜0.综上，－≤y＜1.总结提高1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点：(1)在解题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件