高考数学一轮总复习 5.8 三角函数的综合应用教案 理 新人教a版

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1、5.8三角函数的综合应用典例精析题型一　利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.设∠PAM＝α，0≤α≤，则PM＝90sinα，AM＝90cosα，所以PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，于是S四边形PQCR＝PQ·PR　＝(100－90cosα)(100－

2、90sinα)　＝8100sinαcosα－9000(sinα＋cosα)＋10000.设t＝sinα＋cosα，则1≤t≤，sinαcosα＝.S四边形PQCR＝8100·－9000t＋10000＝4050(t－)2＋950(1≤t≤).当t＝时，(S四边形PQCR)max＝14050－9000m2；当t＝时，(S四边形PQCR)min＝950m2.【点拨】同时含有sinθcosθ，sinθ±cosθ的函数求最值时，可设sinθ±cosθ＝t，把sinθcosθ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0＜x＜，则4x与

3、sin3x的大小关系是(　　)A.4x＞sin3xB.4x＜sin3xC.4x≥sin3xD.与x的值有关【解析】令f(x)＝4x－sin3x，则f′(x)＝4－3cos3x.因为f′(x)＝4－3cos3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin3x＞0.所以4x＞sin3x.故选A.题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt

4、＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝＝＝.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为.所以y＝cost＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，所以cost＋1＞1，所以cost＞0，所以2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3.①

5、因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为dm(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A

6、＝10；②ω＝；③φ＝；④k＝5.其中正确结论的序号是　　　　　.【解析】①②④.题型三　正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得BM＝＝，同理在△BA

7、N中，BN＝＝，所以在△BMN中，由余弦定理得MN＝＝.【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是　　　海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有＝tan∠OCB＝tan60°且＝tan∠OCA＝tan75°，因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan