资源描述：
《高考数学一轮总复习 10.8 立体几何综合问题教案 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、10.8 立体几何综合问题典例精析题型一 线面、面面平行与垂直【例1】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小【解析】方法一：(综合法)(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点.连接EG，GH，又H为BC的中点，所以GHAB.又EFAB，所以EFGH.所以四边形EFHG为平行四边形.所以EG∥FH.而EG⊂平面EDB
2、，所以FH∥平面EDB.由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，所以EF⊥BC.而EF⊥FB，所以EF⊥平面BFC，所以EF⊥FH，所以AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，所以FH⊥BC.所以FH⊥平面ABCD.所以FH⊥AC.又FH∥EG，所以AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，所以AC⊥平面EDB.(3)EF⊥FB，∠BFC＝90°，所以BF⊥平面CDEF.在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角B－DE－C的一个平面角.设EF＝1，则AB＝2，
3、FC＝，DE＝.又EF∥DC，所以∠KEF＝∠EDC.所以sin∠EDC＝sin∠KEF＝.所以FK＝EFsin∠KEF＝，tan∠FKB＝＝.所以∠FKB＝60°.所以二面角B－DE－C为60°.方法二：(向量法)因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC.又EF∥AB.所以EF⊥BC，又EF⊥FB，所以EF⊥平面BFC.所以EF⊥FH，所以AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，所以FH⊥BC.所以FH⊥平面ABCD.以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系.设BH＝1，则A(1，－
4、2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0).D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).(1)设AC与BD交点为G，连接GE，GH，则G(0，－1,0)，所以＝(0,0,1)，又＝(0,0,1)，所以∥.GE⊂平面EDB，HF不在平面EDB内，所以FH∥平面EBD.(2)＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，＝0，所以AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，所以AC⊥平面EDB.(3)＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)，设平面BDE的法向量为n1＝(1，y1，z1).则n1＝－
5、1－y1＋z1＝0，n1＝－2－2y1＝0，所以y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0).＝(0，－2,0)，＝(1，－1,1).设平面CDE的法向量为n2＝(1，y2，z2)，则n2＝0，y2＝0，n2＝0,1－y2＋z2＝0，z2＝－1，故n2＝(1,0，－1).cos〈n1，n2〉＝＝＝，所以〈n1，n2〉＝60°，即二面角B－DE－C为60°.【点拨】(1)本题主要考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力，推理论
6、证能力和运算能力.(2)空间角、空间的平行与垂直是高考必考内容之一，处理方法为推理论证或借助向量知识解决分析几何问题.【变式训练1】已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( )A.平面ABC必不垂直于αB.平面ABC必平行于αC.平面ABC必与α相交D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【解析】选D题型二 空间角求解【例2】(2010浙江)在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平
7、面BEF.(1)求二面角A′－FD－C的余弦值；(2)若点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长.【解析】(1)取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H⊂平面A′EF，所以A′H⊥平面BEF.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0).故＝(－2,2,2)，＝(6,0,0).设n＝(x，y，z)
8、为平面A′FD的一个法向量，所以取z＝，则n＝(0，－2，).又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1).故cos〈n，m〉＝＝.所以二面角的余弦值为.(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)，因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2)2，得x＝，经检验，此时点N在线段BC上.所以FM＝.【点拨】(1)本例主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，
