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《高考数学一轮总复习 9.2 双曲线教案 理 新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、9.2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r,则由已知
2、AE
3、=r+,
4、BE
5、=r-,所以
6、AE
7、-
8、BE
9、=2,又A(-4,0),B(4,0),所以
10、AB
11、=8,2<
12、AB
13、.根据双曲线定义知,点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a=,c=4,所以b2=c2-a2=14,故点E的轨迹方程是-=1(x≥).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨
14、迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则
15、PM
16、-
17、PN
18、的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二 双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使=0,求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x,y),则由=0,得AP⊥PQ,则P在以AQ为直径的圆上,即(x-)2+y2=()2,①又P在双曲线上,得-=1,②由①②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b
19、2=0,即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0,当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去;当x=时,满足题意的点P存在,需x=>a,化简得a2>2b2,即3a2>2c2,<,所以离心率的取值范围是(1,).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )A.k2-e2>1B.k2-e2<1C.e2-k2>1D.e2-k2<1【解析】由双曲线的图
20、象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-<k<,即k2<==e2-1,故选C.题型三 有关双曲线的综合问题【例3】(2013广东模拟)已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.【解析】(1)由题意知
21、x1
22、>,A1(-,0),A2(,0),则有直线A1P的方程为y=(x+),①直线A2Q的方程为y=(x-).②方法一:联立①②解得交点坐标
23、为x=,y=,即x1=,y1=,③则x≠0,
24、x
25、<.而点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,所以-y=1.将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.方法二:设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,①×②得y2=(x2-2).③又点P(x1,y1)在双曲线上,因此-y=1,即y=-1.代入③式整理得+y2=1.因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(,0)的直线l的方程为x+y-=0.解方程组得x=,y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(
26、0,1).同理轨迹E也不过点(0,-1).综上分析,轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1),联立+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得k1=,k2=-.由于l1⊥l2,则k1k2=-=-1,故h=.过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由×(-)=-1,得h=.此时,l1,l2的方程分别为y=x+与y=-x+,它们与轨迹E分别仅有一个交点(-,
27、)与(,).所以,符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于( )A.1+2B.3+2C.4-2D.5-2【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设
28、AF1
29、=x,则
30、AB
31、=x,
32、BF1
33、=x.由双曲线定义有
34、AF1
35、-
36、AF2
37、=2a,
38、BF1
39、-
40、BF2
41、=2a⇒(
42、AF1
43、+
44、BF1
45、)-(
46、AF2
47、+
48、BF2
49、)=(+1)x-x=4a,即x=2a=
50、AF1
51、.故在Rt△AF1
52、F2中可求得
53、AF2
54、=
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