高考数学一轮总复习 9.5 圆锥曲线综合问题教案 理 新人教a版

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1、9.5　圆锥曲线综合问题典例精析题型一　求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1⊥l2；(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋.联立消去y整理得x2－2kx－1＝0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y＝x2，求导得y′＝x.所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2.因为k1k

2、2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.(2)直线l1的方程为y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1).同理直线l2的方程为y－＝x2(x－x2).联立这两个方程消去y得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，整理得(x1－x2)(x－)＝0，注意到x1≠x2，所以x＝.此时y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－.由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R.所以点M的轨迹方程是y＝－.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨

3、迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x＞3)D.－＝1(x＞4)【解析】如图，

4、AD

5、＝

6、AE

7、＝8，

8、BF

9、＝

10、BE

11、＝2，

12、CD

13、＝

14、CF

15、，所以

16、CA

17、－

18、CB

19、＝8－2＝6，根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)，故选C.题型二　圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角

20、线BD所在直线的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以

21、AB

22、＝

23、BC

24、＝

25、CA

26、.所以菱形ABCD的面积S＝

27、AC

28、2.又

29、AC

30、2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝

31、，所以S＝(－3n2＋16)(－＜n＜).所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是　　　　　　.【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，x－1)，Q(xQ，x－1)，由kBP·kPQ＝－1，得·＝－1.所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.因为

32、xP－1＋

33、≥2，所以xQ≥1或x

34、Q≤－3.题型三　求参数的取值范围及最值的综合题【例3】(2013浙江模拟)已知m＞1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为直线l：x－my－＝0经过F2(，0)，所以＝，解得m2＝2，又因为m＞1，所以m＝.故直线l的方程为x－y－1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得2y2＋my＋－1＝0，则由

35、Δ＝m2－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，且有y1＋y2＝－，y1y2＝－.由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，由＝2，＝2，得G(，)，H(，)，

36、GH

37、2＝＋.设M是GH的中点，则M(，)，由题意可知，2

38、MO

39、＜

40、GH

41、，即4[()2＋()2]＜＋，即x1x2＋y1y2＜0.而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m2＋1)(－).所以－＜0，即m2＜4.又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.所以m的取值范围是(1,2).【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解

42、析几何的基本思想方法和综