高考数学一轮复习 4.3 函数模型及其应用教案 新课标

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1、3.函数模型及其应用知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2．函数建模的基本流程误区警示求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．3．常见函数模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它）、二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形

2、象地称之为“指数爆炸”。（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随中的取值变化而定，常见的有二次函数模型。（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。四．典例解析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1．某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件，现在把定价降低x个百分点（即x％）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额

3、是原来的k倍。（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）求销售额最大时x的值（结果可用喊n的式子表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。解：（1）依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，将y=nx代入，化简得（2）由（1）知当时，k值最大。因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为元。（3）当n=2时，要使销售额有所增加，需k＞1，所以＞0，故x∈（0，50），这就是说，当销售额有所增加时，降价幅度的范围需要在原价的一半以内。题型2：分段函数型例2某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销

4、售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）[解题思路]根据题意及“工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本”建立函数模型进行求解【解析】（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为个，则。因此，当一次定购量为550个时

5、，零件的实际出厂单价恰降为51元。（2）当时，P＝60；当时，；当时，P＝51。所以（3）设销售商的一次订购量为个时，该厂获得的利润为L元，则，当时，L＝6000；当时，L＝11000。故当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．题型3：指数、对数型函数例3．按复利计算利息的一种储蓄，本

6、金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y岁存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，试计算5期后的本利和是多少？解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a＋a×r＝a(1+r),2期后的的本利和为y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和为：y=a(1+r)x,将a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000×（1＋2.25％）5用计算器可得y=1117.68（元）点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。题型4：分式（不等式）型例4．对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义

7、为:为,要求清洗完后的清洁度为.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为.设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是,用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.。(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最