版高考数学一轮复习第章函数、导数及其应用.函数模型及其应用学案理

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1、2.9 函数模型及其应用[知识梳理]1.七类常见函数模型192.指数、对数、幂函数模型的性质3.解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)解模:求解数学模型,得出数学结论.(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:19特别提醒:(1)“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象

2、和性质是解题的关键.(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.[诊断自测]1.概念思辨(1)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(  )(2)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.(  )(3)当a>1时,不存在实数x0,使.(  )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.(  )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.教材衍化                   (1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内

3、,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平,那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg109=2.0374,lg0.09=-2.9543)(  )A.2015年B.2011年C.2010年D.2008年答案 B解析 设1995年总值为a,经过x年翻两番,则a·(1+9%)x=4a.∴x=≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )x1.992345.156.126y12191.517

4、4.04187.518.01A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=logx答案 B解析 由题意得,表中数据y随x的变化趋势,函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.∵A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,∴排除A,C,D,∴B中函数y=(x2-1)符合题意.故选B.3.小题热身(1)(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月30日大约卖出了西红柿________千克.答案 解析 

5、前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式,得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①f(x)=p·qx(q>0,q≠1);②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1);③f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号),若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=________.19答案 ③ x2-8x+17解析 (ⅰ)因为f(x)=

6、p·qx,f(x)=logqx+q是单调函数,f(x)=x2+px+q中,f′(x)=2x+p,令f′(x)=0,得x=-,f(x)出现一个递增区间和一个递减区间,所以模拟函数应选f(x)=x2+px+q.(ⅱ)∵f(1)=10,f(3)=2,∴解得p=-8,q=17,∴f(x)=x2-8x+17,故答案为③;x2-8x+17.题型1 二次函数及分段函数模型                     为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似

7、地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果亏损,则国家每月补偿数额的范围是多少?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?本题用函数法,再由均值定理解之.解 (1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-=-x2+400

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