2019年高考数学(理)一轮复习第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第九节　函数模型及其应用[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(对应学生用书第29页)[基础知识填充]1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋b

2、x＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质　　y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行

3、随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图291表示如下：6北师大版2019届高考数学一轮复习学案图291[知识拓展]　“对勾”函数形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称

4、为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)(3)不存在x0，使a＜x＜logax0.(　　)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(

5、x)＜g(x)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)A．100只　　　　　　B．200只C．300只D．400只B　[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.]3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情

6、况是(　　)A．减少7.84%　　　B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减A　[设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，6北师大版2019届高考数学一轮复习学案所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]4．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为(　　)B　[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B．

7、]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．－1　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)，所以x＝－1.](对应学生用书第30页)用函数图像刻画变化过程　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是(　　)(2)如图292所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度

8、注入其中，注满为止．用容器下面所对的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)图292A．1个B．2个C．3个D．4个(1)A　(2)C　6北师大版2019届高考数学一轮复习学案[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反