高考数学一轮复习 4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）教案

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1、4.4两角和与差、二倍角的公式（三）●知识梳理1.化简要求（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基1.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是A.α=，β=B.α=，β=C.α=，β=D.α=，β=解析：由已知得cos（α+β

2、）=，代入检验得A.答案：A2.已知tanα和tan（－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab解析：∴tan==1.∴－=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.答案：C3.f（x）=的值域为A.（－－1，－1）∪（－1，－1）B.［，－1）∪（－1，］C.（，）D.［，］解析：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，－1）∪（－1，］，则f（x）==∈［，－1）∪（－1，］.答案：B4.已知cosα－cosβ=，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.解析：（cosα－cosβ）2=，（sin

3、α－sinβ）2=.两式相加，得2－2cos（α－β）=.∴cos（α－β）=.答案：●典例剖析【例1】求证：－2cos（α+β）=.剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα=sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得－2cos（α

4、+β）=.评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=

5、PF1

6、+

7、PF2

8、，2c=

9、F1F2

10、，∴e=.在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知==.由比例的性质得=e======2cosα－1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展求cot10°

11、－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot10°－4cos10°=－4cos10°======.答案：.●闯关训练夯实基础1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于A.B.－C.D.－解析：∵cosx=，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.∴tan2x===－×=－.答案：D2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan＜cotB.tan＞cotC.sin＜cosD.sin＞cos解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，

12、则tan－cot=－=－＞0.∴tan＞cot.答案：B3.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβD.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B4.函数y=5sinx+cos2x的最大

13、值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－）2+.∴sinx=1时，ymax=4.答案：45.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：a+b+=L≥2+.∴≤.∴S=ab≤（）2=·［］2=L2.解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=.∴S=c2sinθco