高考数学一轮复习 4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）教案

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1、4.3两角和与差、二倍角的公式（二）●知识梳理1.在公式S（α+β）、C（α+β）、T（α+β）中，当α=β时，就可得到公式S2α、C2α、T2α，在公式S2α、C2α中角α没有限制在T2α中，只有当α≠+且α≠kπ+时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α.变形公式sin2α=，cos2α=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.●点击双基1.下列各式中，值为的是A.sin15°cos15°B.2cos2－1C.D.解析：=tan

2、45°=.答案：D2.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c解析：a=sin59°，c=sin60°，b=sin61°，∴a＜c＜b.答案：B3.若f（tanx）=sin2x，则f（－1）的值是A.－sin2B.－1C.D.1解析：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1.答案：B4.（2005年春季上海，13）若cosα=，且α∈（0，），则tan=____________.解析一：由cosα

3、=，α∈（0，），得sinα==，tan=====.解析二：tan===.答案：5.（2005年春季北京，11）已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=，cos2θ=1－2sin2θ=1－2·=.答案：●典例剖析【例1】试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一

4、元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，则y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值.剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.解：由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，∴cos2（x－）=.∴sin2x=cos（－2x）=2cos2（－x）－1=－.∴cos4x=

5、1－2sin22x=1－=－.【例3】已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.此时kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，又sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.评述：由三角函数值判断的范围是关键.●闯

6、关训练夯实基础1.已知f（x）=，当θ∈（，）时，f（sin2θ）－f（－sin2θ）可化简为A.2sinθB.－2cosθC.－2sinθD.2cosθ解析：f（sin2θ）－f（－sin2θ）=－=｜sinθ－cosθ｜－｜sinθ+cosθ｜.∵θ∈（，），∴－1＜sinθ＜－＜cosθ＜0.∴cosθ－sinθ＞0，cosθ+sinθ＜0.∴原式=cosθ－sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.答案：D2.（2005年春季上海，14）在△ABC中，若==，则△ABC是A.直角三角形B.等边三角形C.钝

7、角三角形D.等腰直角三角形解析：由=，得=.又=，∴=.∴=.∴sinAcosB=cosAsinB，sin（A－B）=0，A=B.同理B=C.∴△ABC是等边三角形.答案：B3.若8cos（+α）cos（－α）=1，则sin4α+cos4α=_______.解析：由已知得8sin（－α）cos（－α）=1，∴4sin（－2α）=1.∴cos2α=.sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2－2sin2αcos2α=1－sin22α=1－（1－cos22α）=1－（1－）=1－×=.答案：4.若tanx=

8、，则=_______.解析：原式=====2－3.答案：2－35.化简.解：原式======tan.6.（2004年江苏，17）已知0＜α＜，tan+cot=，求sin（α－）的值.解：由已知tan+cot==，得sinα=.∵0＜α＜，∴cosα==.从而sin（α－）=sinα·cos－cosα·sin=×－×=（4－3）.培养能力7.已知f（x）=2asin2x－2