高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性教案 新课标

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1、4.函数的奇偶性一．知识点1．定义:　设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意∈A，都有，称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意∈A，都有，称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④若函

2、数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和⑤奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3．函数奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称　；②看f(x)与f(-x)的关系；二．例题选讲例1．判断下列函数的奇偶性(1)；(2);(3);(4)解：（1）定

3、义域为，对称于原点，又，为奇函数（2）由得定义域为，关于原点不对称，所以没有奇、偶性。（3）由且得定义域为，对称于原点，得，知是奇函数（4）定义域为，对称于原点，当时，，所以当时，，所以，故是奇函数例2．已知g(x)为奇函数，，且f(-3)=，求f(3)；解：，，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：；变式：已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。解：①可确定:②不可确定:处没有定义；

4、例3．函数的定义域为D=，且对于任意的，都有；（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）如果，，且在上是增函数，求的取值范围。解：（1）令可得：（2）令可得：；再令可得：；所以：为偶函数（3），原不等式可化为：又在上是增函数解得：或或变式一：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0；①求证：f(0)=1　；②求证：y=f(x)是偶函数；证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1；②令x=0，则f(y)

5、+f(-y)=2f(0)·f(y)；∴f(-y)=f(y)；∴y=f(x)是偶函数；变式二：设函数是奇函数，且当时是增函数，若f(1)=0，求不等式的解集；解：由可得：，由前一不等式可解得；；由后一不等式可解得：，故原不等式的解集为：例4．已知函数是奇函数，（1）求m的值；（2）当时，求的最大值与最小值。解：（1）因为是奇函数，所以，即，得m=0(2)因为，①当p<0时，，所以在上是增函数，②当p>0时，知在上是减函数，在上是增函数；（A）当时，在上是增函数，（A）当时，是在上的一个极小值点，且；（B）当时，是在上

6、的一个极小值点，且f(1)