2.4 函数的奇偶性

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2．4函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数的充要条件是；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．A．1B．2C．3D．4提示：①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；②不对，因为奇函数的定

2、义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案为A．（2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　A．，b＝0B．，b＝0C．，b＝0D．，b＝0提示：由为偶函数，得b＝0．　　又定义域为［］，∴，∴．故答案为A．（3）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则）在R上的表达式是（　　）　A．　B．C．D．　　提示：由时，，是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，，∴，即，答案为D．（4）已知，且，那么f（2）等于　　提示：为奇函数，，∴，∴

3、．（5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为提示：由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：，∴例2．判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）．解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．(2)，∴∴既是奇函数又是偶函数．（3）由得定义域为，∴，∵∴为偶函数（4）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例3．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：．解：由已知得因f(x)是奇函数，故，于是．又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等

4、式的解集是．例4．已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又．（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在[，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令，可得，从而，f(0)=0．令，可得，即，故为奇函数．（2）证明：设∈R，且，则，于是．从而所以，为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为．于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（C）A．函数是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数是奇函数，且在定义域内为增函

5、数C．函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C．2．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）A．最小值－5　　B．最大值－5C．最小值－1　　　D．最大值－3提示：、为奇函数，∴为奇函数．又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C．3．定义在R上的奇函数

6、在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3）B．（－∞，－3）∪（3，+∞）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．4.已知函数是偶函数，在［0，2］上是单调减函数，则（A）A.B.C.D.提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴在［－2，0］上单调递减.∵是偶函数，∴在［0，2］上单调递增.又，故应选A.5．已知奇函数，当∈（0，1）时，lg，那么当∈（－1，0）时，的表达式是．提

7、示：当（－1，0）时，∈（0，1），∴．6．已知是奇函数，则＋=2008．提示：，，解得：，经检验适合，．7．若是偶函数，当∈［0，+∞)时，，则的解集是提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出的图象，由图可知的解集为，∴的解集为.8．试判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．解：（1）函数的定义域为R，，故为偶函数．（2）由得：，定义域为，关于原点对称，，，故为奇函数．（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数对

8、一切，都有，若，用表示．解：显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函数．∵，∴．10．已知函数是奇函数，又，，，求、、的值.解：由得∴c=0.又，得，而，得，解得.又，∴或.若，则b=，应舍去； 若，则b=1∈Z.∴.