步步高大一轮复习讲义数学2.4函数的奇偶性

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1、§2.4　函数的奇偶性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是________，两个奇函数

2、的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是__________；③一个奇函数，一个偶函数的积是__________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(

3、x)关于直线x＝a对称．[难点正本　疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(

4、偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(

5、x

6、)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个

7、(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝；④f(x)＝x3＋1.3．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>

8、0的x的取值范围是________．5．定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)．当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则f(2013)的值是(　　)A．－1　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2题型一　函数奇偶性的判断例1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.探究提高　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是

9、否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg；(2)f(x)＝(x－1)；(3)f(x)＝(4)f(x)＝.题型二　函数的单调性与奇偶性例2　定义在(－

10、1,1)上的函数f(x)．(ⅰ)对任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f；(ⅱ)当x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题．(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f＝，试求f－f－f的值．探究提高　对