步步高大一轮复习讲义数学幂函数

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1、§2.6　幂函数1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像与性质由幂函数y＝x、y＝、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在________上都有定义；(2)幂函数的图像都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________；(4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的

2、图像比较(2)幂函数的性质比较函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域值域奇偶性单调性[难点正本　疑点清源]1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．1．(课本改编题)当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第______

3、__象限．2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.3．(课本改编题)下列函数是幂函数的序号是________．①y＝2x　②y＝2x－1　③y＝(x＋2)2④y＝　⑤y＝4．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值等于(　　)A．16B.C．2D.题型一　幂函数的定义及应用例1　已知y＝(m2＋2m－2)·＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值．探究提高　(1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂

4、函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．已知f(x)＝(m2＋2m)，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．题型二　幂函数的图像及性质的简单应用例2　已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，幂函数g(x)的图像过点.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

5、．已知幂函数y＝(m∈Z)的图像与y轴有公共点，且其图像关于y轴对称，求m的值，并作出其图像．题型三　利用幂函数的性质比较幂值的大小例3　比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)0.20.5和0.40.3.探究提高　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键．比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)，；(4)，和.题型四　幂函数的综合应用例4　已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图像关于y轴对称，且

6、在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<的a的取值范围．探究提高　本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a的取值范围．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．3.利用转

7、化思想求参数范围试题：(12分)若函数f(x)＝＋(x2－mx＋1)0的定义域为R，求实数m的取值范围．审题视角　(1)从幂函数的视角看，幂指数为－.f(x)的定义域为R，转化为mx2＋4x＋m＋2>0恒成立，且x2－mx＋1≠0.(2)mx2＋4x＋m＋2>0恒成立转化为y＝mx2＋4x＋m＋2开口向上，且与x轴无交点．规范解答解　设g(x)＝mx2＋4x＋m＋2，①h(x)＝x2－mx＋1，②原题可转化为对一切x∈R有g(x)>0且h(x)≠0恒成立．由①得[3分]即⇒∴m>－1＋.[6分]由②得Δ2＝(－m)2－4<

8、0，即－20且h(x)≠0恒成立是解题的关键．(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g(