步步高大一轮复习讲义数学2.5二次函数

《步步高大一轮复习讲义数学2.5二次函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2.5　二次函数1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝________________.②顶点式：f(x)＝________________.③零点式：f(x)＝________________________.2．二次函数的图像和性质图像函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0a<0y∈[，＋∞)y∈(－∞，]奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既

2、非奇函数也非偶函数a<0单调性a>0a<0x∈(－∞，－]时递减，x∈[－，＋∞)时递增x∈(－∞，－]时递增，x∈[－，＋∞)时递减图像特点①对称轴：x＝－；②顶点：(－，)3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时，图像与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，

3、M1M2

4、＝

5、x1－x2

6、＝.[难点正本　疑点清源]1．求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求．①已知三个点的坐标时，宜用一般式．②

7、已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．1．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋2满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.2．(课本改编题)已知函数y＝x2－

8、2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．5．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是(　　)　A.B.C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.题型一　求二次函数的解析式例1　已知二次函数f(x)满足f

9、(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．探究提高　二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(

10、2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．题型二　二次函数的图像与性质例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(

11、x

12、)的单调区间．探究提高　(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种

13、类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．题型三　二次函数的综合应用例3　若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．探究

14、提高　二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf