步步高大一轮复习讲义数学31函数的概念及其运算

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1、§3.1　导数的概念及其运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为______________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝＝________________.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f

2、′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝____________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c是常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a>0，a≠1

3、)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________；(3)′＝__________(g(x)≠0)．[难点正本　疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数

4、，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P

5、(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．(课本改编题)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．2．(课本精选题)如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．5．已知曲线y＝x2－3

6、lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)A．－3B．2C．－3或2D.题型一　利用导数的定义求函数的导数例1　求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．探究提高　求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率＝.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝在x＝1处的导数；(2)f(x)＝.题型二　导数的运算例2　求下列各函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝x；(3)y＝x－s

7、incos；(4)y＝(＋1).探究提高　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．求下列各函数的导数：(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sin；(4)y＝＋；(5)y＝.题型三　导数的几何意义例3　已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点

8、P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．探究提高　利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y＝ax2